Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов/Примечание XX/ДО

Материал из Викитеки — свободной библиотеки
Перейти к навигации Перейти к поиску
Yat-round-icon1.jpg

Примѣчаніе XX. : Объ образованіи кривыхъ 3-го порядка посредствомъ пяти расходящихся параболъ и посредствомъ пяти кривыхъ, имѣющихъ центръ.
авторъ Мишель Шаль, пер. В.Я. Цингеръ
Языкъ оригинала: французскій. Названіе въ оригиналѣ: Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en Géométrie particulièrement de celles qui se rapportent à la Géométrie moderne. — Изъ цикла «Историческій обзоръ происхожденія и развитія геометрическихъ методовъ». Дата созданія: 1829-1835 гг., опубл.: 1837, перев. 1870-83 гг. Источникъ: Commons-logo.svg Сканы, размещённые на Викискладе Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов/Примечание XX/ДО въ новой орѳографіи


Объ образованіи кривыхъ 3-го порядка посредствомъ пяти расходящихся параболъ и посредствомъ пяти кривыхъ, имѣющихъ центръ.

Примѣчаніе къ гл. IV, n° 4.


[324]Обѣ теоремы, которыя мы предполагаемъ доказать, основываются на одномъ свойствѣ точекъ перегиба въ кривыхъ третьяго порядка; свойство это можетъ быть выражено слѣдующимъ образомъ:

Если около точки перегиба кривой третьяго порядка будемъ вращать сѣкущую и въ двухъ точкахъ пересѣченія ея съ кривою проводить касательныя, то точка встрѣчи этихъ касательныхъ будетъ описывать прямую линію.

На этой же прямой встрѣчаются прямыя, соединяющія попарно точки пересѣченія двухъ сѣкущихъ съ кривою.

Наконецъ эта же прямая пересѣкаетъ каждую сѣкущую въ точкѣ гармонически-сопряженной съ точкою перегиба относительно двухъ точекъ пересѣченія сѣкущей съ кривою.

Само собою ясно, что эта прямая проходитъ черезъ точки прикосновенія трехъ касательныхъ, которыя вообще

[325]можно провести къ кривой изъ точки перегиба. Изъ этого мы видимъ, что эта прямая и точка перегиба играютъ по отношенію къ кривой такую же роль, какъ точка и ея поляра по отношенію къ коническому сѣченію. Мы назовемъ поэтому эту прямую — полярою точки перегиба.

Высказанная теорема легко можетъ быть доказана путемъ геометрическихъ соображеній[1] и отсюда можно вывесть различныя свойства кривыхъ третьяго порядка. Здѣсь мы предлагаемъ себѣ показать только приложеніе этой теоремы къ доказательству двухъ способовъ происхожденія всѣхъ кривыхъ третьяго порядка посредствомъ тѣней пяти изъ нихъ.

Извѣстно, что каждая кривая третьяго порядка имѣетъ или одну, или три точки перегиба[2]. Если посредствомъ перспективы проложимъ кривую такъ, чтобы одна изъ точекъ перегиба удалилась въ безконечность, то поляра ея, на основаніи третьей части нашего предложенія, сдѣлается діаметромъ кривой. Таково происхожденіе діаметровъ въ кривыхъ третьяго порядка.

Сдѣлаемъ теперь перспективу такъ, чтобы не только точка перегиба, но и касательная къ кривой въ этой точкѣ была удалена въ безконечность; тогда кривая будетъ имѣть діаметръ, но не будетъ имѣть асимптотъ, и потому будетъ отличаться чисто параболическимъ характеромъ; въ этомъ и заключается исключительный признакъ пяти расходящихся параболъ. Такимъ образомъ доказано, что всякая кривая третьяго порядка можетъ пролагаться посредствомъ перспективы по одной изъ пяти расходящихся параболъ; отсюда обратно слѣдуетъ, что эти пять кривыхъ могутъ своими тѣнями образовать всѣ другія кривыя. Въ этомъ состоитъ первая изъ доказываемыхъ нами теоремъ; она принадлежитъ Ньютону.

Переходимъ ко второй. Представимъ себѣ въ данной кривой поляру ея точки перегиба и сдѣлаемъ перспективное проложеніе кривой такъ, чтобы эта поляра удалилась въ безконечность: изъ третьей части нашей теоремы слѣдуетъ,

[326]что въ проложеніи точка перегиба будетъ центромъ кривой. Слѣдовательно всякая кривая третьяго порядка можетъ быть посредствомъ перспективы проложена по кривой, имѣющей центръ; отсюда обратно заключаемъ, что пять кривыхъ, имѣющихъ центръ, могутъ посредствомъ своихъ тѣней образовать всѣ остальныя кривыя. Въ этомъ состоитъ вторая изъ теоремъ, которыя мы желали доказать.

Эта теорема и предыдущая теорема Ньютона могутъ быть выражены въ одномъ предложеніи.

Подобно кривымъ втораго порядка, которыя ведутъ только къ одному виду конуса, кривыя третьяго порядка могутъ вести только къ пяти видамъ конусовъ.

Пересѣкая эти конусы извѣстнымъ образомъ, получимъ пять кубическихъ параболъ.

При другихъ способахъ пересѣченія получаются пять кривыхъ, имѣющихъ центръ.

Теорема, приведенная въ началѣ этого Примѣчанія, даетъ очень простое объясненіе различныхъ свойствъ кривыхъ третьяго порядка, имѣющихъ центръ, и также многихъ свойствъ точекъ перегиба. Но мы не можемъ входить здѣсь въ дальнѣйшія подробности.

Примѣчанія.

  1. [Эти теоремы легко выводятся из общей теории поляр, см. Введение Кремоны, 139-139a. ]
  2. [Если кривая третьего порядка имеет двойных точек и точек возврата, то по формулам Плюкера она имеет точек перегиба, то есть 9, 3 или 1. См. Введение Кремоны, 101.]