Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов/Барроу и Чирнгаузен

Третья эпоха: Барроу. — Чирнгаузен.
автор Мишель Шаль, пер. В.Я. Цингер

Оригинал: фр. Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en Géométrie particulièrement de celles qui se rapportent à la Géométrie moderne. — Из цикла «Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов». Перевод созд.: 1829-1835 гг., опубл: 1837, перев. 1870-83 гг. Источник: Сканы, размещённые на Викискладе

Третья эпоха: Барроу. — Чирнгаузен.

15. Барроу (1630—1677). Между современниками Валлиса и Гюйгенса, наиболее способствовавшими успехам геометрии, мы должны упомянуть о Барроу, профессоре Ньютона в Глазговском университеле. В 1669 году он издал свое сочинение Lectiones Geometricae, в котором заключается много глубоких изысканий о свойствах кривых линий и, преимущественно, о их размерах. Особенно замечательна вторая лекция о способе касательных; у Барроу этот способ в сущности мало отличается от способа Фермата, но в нем рассматривается малый дифференциальный треугольник и в вычисления вместо одного вводится два бесконечно малые количества; это составляет еще шаг к учению и символическому обозначению Лейбница.

Познания в греческом и арабском языках дали Барроу возможность принести пользу науке хорошими переводами на латинский язык элементов и данных Евклида, четырех первых книг Аполлония, сочинений Архимеда и, сферики Феодосия. Во всех этих переводах доказательства большею частью переделаны и значительно упрощены.

В 1684 году были изданы под заглавием Lectiones mathematicae лекции, читанные Барроу в 1664, 1665 и 1666 годах в Кембриджском университете о математической философии, и еще четыре лекции, неизвестного времени, имеющие предметом разъяснение способа, служившего Архимеду для его важнейших открытий, и указание на значительное различие этого способа от современного анализа^[1]. Последний предмет изложен у Барроу со всевозможною точностью и ясностию; к сожалению другия его математические лекции усеяны греческими цитатами, затрудняющими чтение.

Наконец, в Lectiones opticae, Барроу с большим искусством прилагал геометрию ко многим вопросам об отражении и преломлении света на кривых поверхностях. Он строил точки, в которых пересекаются бесконечно-близкие лучи; но, не смотря на его любовь и привычку к геометрическим соображениям, ему не пришло на мысль рассматривать кривую, происходящую от последовательности таких точек, т. е. огибающую этих лучей; подобно Гюйгенсу он был близок к открытию этой кривой, но оставил честь этого открытия Чирнгаузену.

16. Теперь именно место говорить о геометре, которого мы только что назвали.

Чирнгаузен (1651—1708) получил большую известность своими знаменитыми каустическими кривыми. Действительно, это открытие тотчас же сделалось основанием многих физико-математических теорий. Как открытие чисто геометрическое, оно представляло двойную выгоду; оно являлось, с одной стороны, после разверток Гюйгенса вторым примером образования кривых линий чрез огибание движущейся прямой; и, с другой стороны, приводило ко множеству распрямляемых кривых.

Каустические кривые, также как и развертки, являлись в некотором смысле практическим применением идеи Де Бона: — определять кривые линии каким нибудь общим свойством их касательных.

Но не это отвлеченное суждение привело Гюйгенса и Чирнгаузена к открытию кривых, носящих их имена; дальнейшее развитие мысли Де Бона было дано Лейбницем, который даже обобщил ее, исследуя огибающую бесконечного множества прямых или определенных кривых линий, связанних между собою каким-нибудь общим свойством^[2].

17. Чирнгаузен, человек с высокими способностями и один из самых страстных любителей избранной им науки, занимает по многим причинам, не говоря об открытии каустических линий, почетное место в истории геометрии.

В сочинении своем Medicina mentis, 1686^[3], предмет которого заключался в указании правил для руководства при изыскании истины, Чирнгаузен, основываясь на той мысли, что предметы, изучаемые в математике, образуются при движении относительно чего нибудь неподвижного, предложил новое и всеобщее образование кривых линий. Он представлял себе, что они описываются острием, натягивающим нить, которая, будучи концами укреплена в двух неподвижных точках, скользит по нескольким другим точкам, или навертывается на некоторые известные кривые. Это, как мы видим, есть обобщение способа черчения конических сечений помощию фокусов, — обобщение, которое еще Декарт имел мысль применить к черчению своих овалов^[4].

Чирнгаузен делил кривые линии на несколько родов, смотря по большему или меньшему числу их фокусов и смотря по свойствам неподвижных кривых. Он показал способ проводить касательные к описанным таким образом кривым и это послужило началом задачи касательной к кривой, выраженной уравнением между расстояниями какой нибудь её точки от нескольких неподвижных точек.

18. Эта задача имела некоторую известность и была решена посредством различных оригинальных приемов первыми математиками того времени: прежде всего геометром Fatio de Duiller, который обнаружил ошибку, вкравшуюся у Чирнгаузена и предложил решение, основанное на простых геометрических соображениях и представляющее по нашему мнению один из лучших и в настоящее время весьма редких примеров приложения способа древних к построению касательных^[5]; потом — маркизом Лопиталем, который на основавии бесконечно-малых и без всякого вычисления нашел изящное и совершенно общее решение этой задачи^[6]; и наконец в то же самое время — Лейбницем, решение которого, «имеющее ту выгоду, что оно всё совершается в уме без вычисления и чертежа», основывалось на прекрасной теореме механики, найденной Лейбницем именно по этому случаю^[7]. Через несколько лет после этого Герман еще пополнил эту теорию, показав для тех же кривых Чирнгаузена очень простое построение радиуса кривизны, определяемого прямо, путем чистой геометрии, без помощи вспомогательных коордииат Декарта^[8].

Пуансо распростравил тот же способ образования на кривые поверхности и на построение их нормалей и пользовался им с успехом в своем превосходном мемуаре по механике^[9].

19. Возвратимся к Чирнгаузену. В 1701 году этот геометр представил Академии наук новый общий способ, который, по его словам, мог заменить собою исчисление бесконечно малых во множестве вопросов высшей геомерии, например при построении касательных и радиусов кривизны^[10]. Но этот способ, основывавшийся на анализе Декарта, оказался подражанием двум способам проведения касательных, предложенным Декартом и заключавшимся в том, что две точки кривой рассматриваются сначала на конечном расстоянии и потом предполагаются слившимися.

Большое впечатление произвело в то время заглавие, под которым Чирнгаузен представил одно из своих открытий, именно: Essai d'une méthode pour trouver les touchantes des courbes mécaniques, sans supposer aucune grandeur indéfiniment petite^[11][12]; действительно, оно должно было живо затронуть любопытство геометров и упрочило бы за автором, уже без того известным, бессмертную славу, если бы обещание было выполнено им совершенно. Но предложенный способ далеко не распространялся на все механические кривые и относился только к одному роду линий, в которых абсциссами служат дуги геометрической кривой, к которой умеем проводить касательные, a ординатами — линии, параллельные постоянной прямой; самое вычисление у Чирнгаузена ничем не отличалось от обыкновенного случая абсцисс, считаемых по прямой, a не по кривой линии. Впрочем способ этот всё таки имеет некоторое значение, как расширение способов Декарта, который, как мы знаем, исключил из своей геометрии, для большей последовательности и удовлетворительности, механические кривые, разумея под этим именем все кривые, которые не могут определяться посредством точной и известной меры. С 1682 года Чирнгаузен излагал в Лейпцигских Актах свой способ касательных к геометрическим кривым под заглавием Nova methodus tangentes curvarum expedite determinandi и обещал приложить его впоследствии к механическим кривым.

20. Размышления о методах в геометрии. Постоянная цель Чирнгаузена при всех этих геометрических исследованиях заключалась в том, чтобы упростить геометрию, и основывалась на убеждении, что настоящие, истинные методы должны быть просты, что самые остроумные из них не могут быть истинными, если они очень сложны, и что необходимо существует возможность найти что нибудь более простое.

Мы с намерением указываем на эту мысль Чирнгаузена, в полном убеждении, что все геометрические истины имеют действительно этот характер и что все они одинаково способны к простым, и очень часто очевидным, доказательствам. И действительно, известны весьма многие примеры таких истин, которые сначала представляли величайшие затруднения и не уступали никаким усилиям всех известных методов, но впоследствии делались самыми простыми и очевидными. Это потому, что первоначально они зависели от не вполне сложившихся и недостаточно обобщенных теорий и основывались не на истинных, свойственных им, началах.

Скажем здесь мимоходом, что, по нашему мнению, именно в этом заключается главное преимущество современного анализа пред геометрией. Первый из этих способов исследования имеет необыкновенно выгодное право пренебрегать всеми промежуточными предложениями, тогда как для второго способа они всегда необходимы и он должен их изобретать для всякого нового вопроса. Но это прекрасное и драгоценное преимущество анализа имеет, как и все человеческие суждения, свою слабую сторону: этот быстрый и проницательный путь не всегда бывает достаточно ясен для нашего ума; он скрывает истины, связывающие найденное предложение с точкою отправления, тогда как всё это вместе должно бы составлять одно полное целое, одну истинную теорию. Разве при глубоком и философском изучении науки достаточно знать, что такое-то положение справедливо, ни зная, как и почему оно справедливо, не зная, какое место занимает найденная истина в ряду других с нею однородных?

Чтобы при настоящем состоянии геометрии достигнуть цели Чирнгаузена, т. е. беспредельного усовершенствования этой науки, надобно, как нам кажется, соблюдать при всех исследованиях два следующие правила:

1. Обобщать более и более частные предложения, чтобы таким образов дойти мало-помалу до самого общего предложения, которое всегда будет в то же время самым простым, самым естественным и самым понятным.
2. Не довольствоваться при доказательстве теоремы, или при решении задачи, первым результатом, который мог бы быть достаточным для частного исследования, независимого от общей системы всего отдела науки; напротив, удовлетворяться доказательством, или решением, только тогда, когда простота решения, или очевидный вывод его из какой нибудь уже известной теории, покажут, что мы привели исследуемый вопрос к такому учению, от которого он естественно зависит.

Дле убеждения в том, что, прилагая эти правила, мы достигли желаемой цели, т. е. нашли надлежащий путь к окончательной истине и дошли до её начала, можно нам кажется руководствоваться мыслию, что во всякой теории должна существовать и быть известна одна основная истина, из которой все другие должны выводиться легко, как её видоизменения или следсивия, и что только выполнение этого требования может служить признаком действительного совершенства науки. Прибавим вместе с одним из новых геометров, много размышлявшим о философии математических наук: «нельзя думать, что мы знаем уже последнее слово какой нибудь теории, пока мы не в состоянии объяснить ее в немногих словах первому встречному»^[13]. И в самом деле, великие и первоначальные истины, из которых истекают все остальные, — истины, составляющие настоящие основания науки, — всегда имеют характеристическим признаком своим — простоту и очевидность^[14].

21. Разделение геометрии на три отрасли. Из предложенного краткого разбора громадных успехов, сделанных геометриею в течение каких нибудь тридцати лет, можно было видеть, что эти успехи имели источником два великие открытия, именно: учение о неделимых Кавальери и приложение анализа к кривым линиям Декарта.

Первое из них удобно применялось к обычным формам и приемам древней геометрии; поэтому на открытия, вызванные способом Кавальери, смотрели, как на успехи в области чистой геометрии древних. Второе открытие, представляя исключительно аналитическое орудие, сделало из геометрии совершенно новую науку, которая возбудила бы удивление Архимеда и Аполлония, которые не оставили нам никакого зародыша её; ее стали называть смешанною геометриею (mixte), аналитическою геометриею, или геометриею Декарта.

Но в то время, как устанавливалось это деление геометрических методов, возникал еще третий способ исследовавия, так сказать третий вид геометрии. Это тот способ, который, как мы уже говорили, был употребляем Паскалем и Дезаргом и первые зачатки которого находились в поризмах Евклида и были сохранены нам в Математическом Собрании Паппа.

Мы видим таким образом, что геометрия разделилась на три отрасли.

Во первых, на геометрию древних, вспомоществуемую учениями о неделимых и о составных движениях.

Во вторых, на анализ Декарта, усиленный приемами исчисления бесконечных, заключавшимися в способе de maximis et minimis Фермата.

В третьих, на чистую геометрию, которая существенно отличается характером отвлеченности и общности; первые примеры её находятся в сочинениях о конических сечениях Паскаля и Дезарга и ниже мы увидим, что Монж и Карно в начале нынешнего столетия утвердили ее на широких и плодотворных началах.

Эта третья отрасль, которая теперь составляет то, что называется новою геометриею (récente), свободна от алгебраических исчислений; хотя она пользуется с одинаковым успехом метрическими соотношениями фигур, также как и начертательными их свойствами, зависящими только от положения, но в ней рассматриваются только известного рода отношения между прямолинейными расстояниями, не требующие ни символических обозначений алгебры, ни её действий.

Геометрия эта составляет продолжение геометрического анализа древних, от которого она нисколько не отличается по цели и сущности своих исследований; но она представляет перед анализом древних неизмеримые преимущества по общности, единству и отвлеченности суждений, по своим методам, заменившим частные, неполные и бессвязные предложения, составлявшие всю науку и единственное орудие древних, и, наконец, преимущественно по полезному в высшей степени употреблению фигур трех измерений в вопросах геометрии на плоскости.

В этой общей геометрии относятся, вместе с своими приложениями, те теории, которые в новейшее время получили название Géométrie de la régie и Géométrie de situation, смотря по тому, употребляются ли в них для открытия начертательных свойств фигур пересечения только прямых линий, или также пересечения кривых и поверхностей в пространстве.

Из трех указанных нами существенно различных отраслей геометрии, вторая, т. е. анализ Декарта, представляла столько привлекательности и столько громадных выгод, что ею с заметным предпочтением стали заниматься великие геометры, названные нами в третьей эпохе.

При этом не следует забывать, что геометрия Декарта не принадлежит к разряду частных соображений, но представляет всеобщее орудие, применимое ко всем геометрическим соображениям, как древним, так и новым.

Примечания

1. Quo planius appareat qualem ille subtilissimus vir (Archimedes) analysin usurparit, et quam hodienae nostrae parum dissimilem.
2. Acta Erud. Lips. an. 1692 et 1694, и Oeuvres de Leihnitz, t. III, p. 284 et 296.
3. Medicina mentis, sive tentamen getiuinae logicae, in qua disseritur de methodo detegendi incognitas veritates. In—4°, Amst.
   В III томе Bibliothèque universelle et historique (1686 г.) находится весьма подробный разбор этого замечательного сочинения Чирнгаузена.
4. Géométrie de Descartes, liv. 2. Кривые эти, изобретенные Декартом, играли важную роль особенно в его Диоптрике. Мы будем говорить о них в четвертой эпохе, где встретим их воспроизведенными в 1-й книге Principia Ньютона.
5. Reflexions de M. Fatio de Duiller sur une méthode de trouver les tangentes de certaines lignes courbes; в Bibliothèque universelle et historique, t. V, an. 1688.
   Чирнтаузен отвечал на эти размышления Fatio и признал свою ошибку в X томе того же сборника за тот же год.
6. Лопиталь. Анализ бесконечно малых. [Русский перевод Н.В. Леви. М.-Л., 1935.] Гл. 2, теорема 10.
7. Лейбниц исследовал задачу в такой форме: «провести касательную к кривой линии, описываемой натянутыми нитями». Построение его основывается на общем правиле составления движений; вводя вместо понятия о движении понятие о силе, как сделал это Лангранж в Mécanique analytique при изложении условия равновесия, проистекающего из правила Лейбница, мы можем выразить это правило таким образом: «Если силы, действующие в каком угодно числе на точку, изобразим по величине и направлению прямыми линиями, то равнодействующая их пройдет через центр тяжести концов этих линий и по величине будет равна расстоянию этого центра тяжести от точки приложения, умноженному на число всех сил». (Journal des Savans, sept. 1693, и Oeuvres de Leibnitz, t. III, p. 283).
   Теорема эта может быть распространена на случай сил, приложенных к различным точкам свободного твердого тела в пространстве. (Correspondance mathématique de Bruxelles, t. V, p. 106).
8. Methodus inveniendi radios osculi in curvis ex focis descriptis, Acta Eruditorum, an. 1702; p. 501.
9. Théorie générale de l'équilibre et du mouvement des systèmes; 13-я тетрадь Journal de l'école polytechnique. Мемуар этот переиечатан в 6-м издавии Statique Пуансо.
10. Histoire et Mémoires de l'Académie des Sciences, an 1701.
11. [Эссе о методе проведения касательных к механическим кривым, не требующем никакой бесконечно малой величины]
12. Mémoires de l'Académie des Sciences, an. 1702.
13. Мнение Жергона, которое он высказал по поводу своей новой теории каустических линий Кетле. (Nouveaux Mémoires de l’Académie de Bruxelles, t. IV, p. 88).
14. Это мнение, принятое в положительных науках, есть опытный вывод из истории развития каждой из них. Но его можно также подтвердить a priori. Действительно, самые общие принципы, т. е. те, которые обнимают наибольшее число частных случаев, должны быть свободны от тех разнообразных обстоятельств, которые придают различный и отличительный характер всем частным фактам, пока эти последние рассматриваются отдельно и пока неизвестна их взаимная связь и общее происхождение; потому что, если бы общие принципы были осложнены всеми частными обстоятельствами и свойствами, то это же отразилось бы и на всех их следствиях и они могли бы вообще вести только к истинам в высшей степени затруднительным и сложным. Следовательно, самые общие принципы необходимо должны быть по самому существу своему наиболее простыми.