Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов/От Герона до Птоломея/ДО

Первая эпоха: отъ Герона до Птоломея
авторъ Мишель Шаль, пер. В.Я. Цингеръ

Оригинал: фр. Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en Géométrie particulièrement de celles qui se rapportent à la Géométrie moderne. — Изъ цикла «Историческій обзоръ происхожденія и развитія геометрическихъ методовъ». Перевод созд.: 1829-1835 гг., опубл: 1837, перев. 1870-83 гг. Источникъ: Индекс в Викитеке

Первая эпоха: отъ Герона до Птоломея

16. Въ продолженіе трехъ или четырехъ вѣковъ послѣ Архимеда и Аполлонія многіе геометры, хотя и не могли сравняться съ этими великими людьми, однако заслужили себѣ почетное имя въ исторіи науки и продолжали обогащать геометрію полезными открытіями и теоріями. Въ слѣдующихъ затѣмъ двухъ или трехъ столѣтіяхъ жили комментаторы, передавшіе намъ творенія и имена геометровъ древняго міра; затѣмъ, наконецъ, до самаго возрожденія наукъ въ Европѣ, наступаетъ время невѣдѣнія, въ теченіе котораго геометрія въ дремлющемъ состояніи хранилась у Арабовъ и Персовъ.

Мы упомянемъ вкратцѣ только о важнѣйшихъ сочиненіяхъ знаменитѣйшихъ писателей этого періода, обнимающаго около 1700 лѣтъ.

При этомъ должно замѣтить, что время, въ которому мы теперь переходимъ, есть время самыхъ значительныхъ усиѣховъ астрономіи. Труды всѣхъ геометровъ, о которыхъ мы будемъ говорить, за исключеніемъ Никомеда, относились главнымъ образомъ къ этой наукѣ и ей преимущественно обязаны своею извѣстностью.

Такое измѣненіе въ направленіи науки было необходимымъ слѣдствіемъ великихъ открытій Архимеда и Аполлонія, которыя требовали нѣсколькихъ столѣтій изученія и размышленія, прежде нежели можно было идти далѣе въ изученіи предметовъ, изслѣдованныхъ этими геніальными людьми.

Прибавленіе. Геронъ Александрійскій, ученикъ знаменитаго механика Ктезибія, прославившійся своимъ сочиненіемъ о пневматикѣ и различными изобрѣтеніями по механикѣ, о которыхъ говорится въ восьмой книгѣ «Математическаго Собранія» Паппа, отличался также въ геометріи. Евтоцій сохранилъ для насъ его рѣшеніе задачи о двухъ среднихъ пропорціональныхъ и заимствовалъ изъ его сочиненія περί μετρικών ариѳметическое правило для извлеченія корней квадратаыхъ изъ чиселъ.

Проклъ упоминаетъ объ немъ какъ объ авторѣ новыхъ доказательствъ для различныхъ элементарныхъ теоремъ, при чемъ онъ допускалъ только три аксіомы Евклида^[1]. Григорій Назіанзинъ (328—389 г.) ставитъ его въ число великихъ геометровъ древности. (Oratio 10).

Сочиненія Герона были многочисленны, но большая часть изъ нихъ или не дошла до насъ, или оставалась неиздана. Изъ сочиненій, относящихся собственно къ геометріи, издано и переведено только два. Однимъ изъ нихъ, о которомъ историки математическихъ наукъ, не знаю почему, ничего не говорятъ, мы обязаны Дасиподію. Заглавіе его было: Nomenclatura vocabulorum geomeiricorum^[2]. Это рядъ опредѣленій различныхъ предметовъ, относящихся къ геометріи. Опредѣленія эти сопровождаются комментаріями и весьма ясными дополненіями.^[3]

Въ предисловіи Дасиподій говоритъ, что у него есть много другихъ сочиненій Герона, которыя онъ предполагаетъ издать. Одно изъ нихъ, называющееся Διοπτρικά, есть другое сочиненіе Герона по герметріи, дошедшее до насъ, благодаря ученому Болонскому профессору Вентури который перевелъ его по итальянски подъ заглавіемъ Il Traguardo (уровень), соотвѣтствующимъ заглавію греческаго текста: περί διόπτρας и помѣстилъ въ примѣчаніяхъ къ исторіи и теоріи оптики^[4]. Сочиненіе это есть трактатъ о геодезіи, въ которомъ графически на поверхности земли рѣшается множество вопросовъ практической геометріи при помощи инструмента, называвшагося у древнихъ діоптромъ.

Сочиненіе это достойно имени Герона; это — драгоцѣнный памятникъ греческой геометріи и долженъ занимать мѣсто на ряду съ сочиненіями Евклида, Архимеда и Аполлонія. Это сочиненіе пополняетъ пробѣлъ между другими, дошедшими до насъ твореніями древности. Древніе всегда отличали практическую геометрію, подъ названіемъ геодезіи, отъ геометріи въ собственномъ смыслѣ и писали объ этой геодезіи особо^[5]; по этой отрасли геометріи мы не имѣемъ никакихъ сочиненій Александрійской школы.

Извѣстно впрочемъ сочиненіе по геодезіи Герона младшаго, жившаго черезъ восемьсотъ лѣтъ послѣ Герона старшаго. Но это сочиненіе, заключающее въ себѣ только самыи простыя дѣйствія, и безъ доказательствъ, недостойно стоять на ряду съ геометрическими твореніями Грековъ. Самое важное предложеніе, встрѣчающееся въ немъ, есть выраженіе площади треугольника посредствомъ трехъ сторонъ его. Но оно находится также въ сочиненіи Герона старшаго и доказано тамъ весьма изящнымъ геометрическимъ построеніемъ. Отсюда, вѣроятно, заимствовалъ его и Геронъ младшій, который часто ссылается на сочиненія своого однофамильца и на сочиненія Архимеда; притомъ въ числовомъ приложеніи формулы онъ беретъ для сторонъ треугольника тѣже числа 13, 14 и 15, которыя находятся у Герона старшаго.

Эти же три числа и формула встрѣчаются также въ геометріи Индѣйцевъ и Арабовъ и даже у Римлянъ, какъ мы увидимъ это, когда будемъ говорить о сочиненіяхъ Брамегупты. (Прим. XII).

Такъ какъ сочиненіе о геодезіи Герона старшаго еще очень мало извѣстно, то мы предлагаемъ здѣсь большую часть задачъ, которыя разрѣшены тамъ помощію инструмента, называемаго діоптромъ. Примѣры эти показываютъ, что называлось у Грековъ геодезіею, или практическою геометріей; они заставляютъ сожалѣть, что до сихъ поръ еще не изданъ оригинальный текстъ сочиненія Герона и другіе переводы, подобные переводу Вентури^[6].

1. Измѣрить разность высотъ двухъ точекъ, невидимыхъ одна изъ другой.
2. Провести прямую между двумя точками, невидными одна изъ другой.
3. Найти разстояніе мѣста, гдѣ находишься, отъ другой недоступной точки.
4. Измѣрить ширину рѣки, которой нельзя переплыть
5. Измѣрить разстояніе между двумя отдаленными точками.
6. Провести изъ данной точки перпендикуляръ на прямую, къ которой нельзя приблизиться.
7. Измѣрить высоту недоступной точки.
8. Измѣрить разность высотъ двухъ недоступныхъ точекъ.
9. Измѣрить глубину ямы.
10. Сквозь гору провести прямую, соединяющую двѣ точки, данныя съ различныхъ сторонъ горы.
11. Выкопать въ горѣ колодезь, чтобы онъ оканчивался въ данномъ подземномъ углубленіи.
12. Начертить контуръ рѣки.
13. Придать насыпи форму даннаго сферическаго сегмента.
14. Сообщить насыпи опредѣленный наклонъ.
15. Измѣрить поле, не входя въ него.
16. Раздѣлить его на данное число частей посредствомъ прямыхъ выходящихъ изъ одной точки.
17. Раздѣлить треугольникъ и трапецію въ данномъ отношеніи.

17. Никомедъ (около 150 г. до Р. X.). Сочиненія Никомеда до насъ не дошли и мы знаемъ этого геометра только какъ изобрѣтателя конхоиды, которую онъ весьма остроумнымъ образомъ прилагалъ къ рѣшенію задачъ о двухъ среднихъ пропорціональныхъ и о дѣленіи угла на три части.

Конхоида, замѣчательная уже тѣмъ, что съ помощію ея разрѣшались эти двѣ извѣстнѣйшія задачи древности, пріобрѣла новую важность послѣ того, какъ Вьетъ замѣтилъ, что къ этимъ двумъ задачамъ приводится рѣшеніе всякой задачи, зависящей отъ уравненія третьей степени, а Ньютонъ, въ своей Arithmetica universalis примѣнилъ эту кривую прямо къ построенію всякаго уравненія третьей степени.

18. Гиппархъ (около 150 г. до Р. X.), величайшій астрономъ древности, истинный основатель математическон астрономіи, написалъ сочиненіе въ двѣнадцати книгахъ, въ которомъ находилось построеніе хордъ для дугъ круга^[7].

Астрономическія вычисленія Гиппарха требовали знанія плоской и сферической тригонометріи; начала этихъ наукъ, обязанныхъ, какъ кажется, несомнѣнно ему своимъ происхожденіемъ,^[8] онъ изложилъ въ своемъ сочиненіи о восхожденіи и захожденіи звѣздъ. Кажется также, что Гиппарху слѣдуетъ приписать открытіе стереографической проэкціи и двухъ знаменитыхъ теоремъ плоской и сферической тригонометріи, о которыхъ мы упомянемъ, когда будемъ говорить о Менелаѣ и Птоломеѣ.

19. Предполагаютъ, что Геминъ (около 100 г. до Р. X.) жилъ немного времени послѣ Никомеда и Гиппарха. Ему приписывается сочиненіе о различныхъ кривыхъ и между прочимъ о винтовой линіи, образуемой на поверхности прямаго круглаго цилиндра. Въ этой кривой онъ обнаружилъ свойство, принадлежащее также прямой линіи и кругу и состоящее въ томъ, что она во всѣхъ своихъ частяхъ подобна самой себѣ^[9]. Другое сочиненіе Гемина, подъ назаніемъ Enarrationes geometricae, часто упоминаемое Прокломъ, было чѣмъ то въ родѣ философскаго разбора отрытій въ геометріи. Оба сочиненія считаются утраченными, но говорятъ, что первое находится въ рукописи въ библіотекѣ Ватикана.

20. Въ сочиненіи Sphaericorum libri tres Ѳеодосій (около 100 г. до Р. X.) собралъ многія свойства большихъ круговъ на сферѣ, необходимыя въ астрономіи для вычисленія сферическихъ треугольннковъ. Впрочемъ самыхъ вычисленій въ сочиненіи нѣтъ и даже слово треугольникъ нигдѣ не встрѣчается. Но, не смотря на свою элементарность, это сочиненіе цѣнилось весьма высоко, потомучто отличалось основательностію и методическимъ изложеніемъ. По этой причинѣ оно было комментировано Паппомъ и переведено многими изъ лучшихъ геометровъ новаго времени.

Ѳеодосію принадлежатъ еще два сочиненія: de habitationibus и de diebus et noctibus, въ которыхъ описываются явленія, какъ они должны представляться обитателямъ земли, смотря по положенію солнца въ эклиптикѣ.

21. Геометръ и астрономъ Менелай (около 80 г. по Р X.) написалъ также какъ и Ѳеодосій сочиненіе о геометріи на сферѣ подъ тѣмъ же заглавіемъ Shacricorum libri tres; оно извѣстно намъ въ переводахъ на арабскій и еврейскій языки, греческій же текстъ потерянъ. Менелай въ этомъ сочиненіи идетъ далѣе Ѳеодосія: онъ разсматриваетъ уже свойства сферическихъ треугольниковъ, но не даетъ еще ихъ вычисленія, т. е. сферической тригонометріи, которая, можетъ быть, была предметомъ его другаго сочиненія въ шести книгахъ о вычисленіи хордъ, о которомъ упоминаетъ Теонъ, но которое утрачено.

Важнѣйшее предложеніе Сферики Менелая есть первая теорема 3-й книги, составляющая основаніе всей сферической тригонометріи Грековъ. Эго есть свойство трехъ отрѣзковъ, образуемыхъ какимъ нибудь большимъ кругомъ на трехъ сторонахъ сферическаго триугольника. Теорема эта находилась въ большемъ уваженіи у Арабовъ, которые объясняли ее во многихъ сочиненіяхъ и называли regula intersectionis. О подобной же теоремѣ плоской геометріи, указанной также Менелаемъ, какъ пособіе для доказательства предыдущей, мы будемъ говорить ниже по поводу Птоломея, такъ какъ она была въ первой разъ найдена въ Адьмагестѣ; эта теорема получила особенное значеніе въ новой геометріи, куда ее ввелъ Карно, положившій ее въ основаніе своей теоріи трансверсалей.

Приведемъ еще двѣ слѣдующія теоремы изъ сферики Менелая, принадлежащія кажется, также этому геометру.

1. Большой кругъ, дѣлящій уголъ сферическаго треугольника пополамъ, раздѣляетъ противоположную сторону на двѣ такія части, что хорды ихъ относятся между собою какъ хорды прилежащихъ сторонъ.
2. Три дуги, дѣлящія углы треугольника пополамъ, проходятъ черезъ одну и ту же точку.

Менелай писалъ также о теоріи кривыхъ линій. Паппъ передаетъ намъ, что одна изъ этихъ кривыхъ была названа Менелаемъ удивительною^[10]; вѣроятно это была линія двоякой кривизны, потомучто она получалась отъ пересѣченія двухъ кривыхъ поверхностей.

22. Птоломей (около 150 г. по Р. X.) астрономъ и геометръ, обладавшій обширными свѣденіями, оставилъ намъ въ своемъ Альмагестѣ^[11] полное изложеніе плоской и сферической тригонометріи, единственное, доставшееся намъ отъ Грековъ, такъ какъ сочиненія Гиппарха объ этомъ предметѣ утрачены. Здѣсь мы встрѣчаемъ прекрасное свойсво вписаннаго въ кругѣ четыреугольника, состоящее въ томъ, что произведеніе діагоналей равно суммѣ произведеній противоположныхъ сторонъ. Оно дано имъ, какъ вспомогательное средство при построеніи хордъ, соотвѣтствующихъ даннымъ дугамъ круга.^[12]

Птоломей за основаніе своей тригонометріи принялъ теорему о шести отрѣзкахъ, данную Менелаемъ, и подобно ему при доказательствѣ этой теоремы пользовался соотвѣтственною теоремою на плоскости. Послѣдняя теорема состоитъ въ слѣдующемъ соотношеніи между отрѣзками, получаемыми на сторонахъ какого-нибудь плоскаго треугольника отъ пересѣченія ихъ прямою, проведенною въ той же плоскости: произведеніе трехъ изъ этихъ отрѣзковъ, именно тѣхъ, которые не имѣютъ общихъ конечныхъ точекъ, равно произведенію трехъ остальныхъ^[13]. Мы видимъ, что это есть обобщеніе основнаго предложенія теоріи пропорціональныхъ линій, состоящаго въ томъ, что прямая, проведенная параллельно основанію треугольника, дѣлитъ стороны его на пропорціональныя части. Одного этого замѣчанія достаточно, чтобы видѣть, какъ должна быть полезна въ геометріи вышеупомянутая теорема. Главнымъ образомъ она прилагается къ изслѣдованіямъ, въ которыхъ нужно доказать, что три точки лежатъ на одной прямой; для этого строютъ треугольникъ, стороны котораго проходятъ черезъ три разсматриваемыя точки, и потомъ удостовѣряются, существуетъ ли между полученными шестью отрѣзками сказанное соотношеніе.

Въ началѣ нынѣшняго столѣтія эта теорема была, кажется, совсѣмъ неизвѣстна до тѣхъ поръ, пока на нее не было обращено вниманіе въ Géométrie de position, и вскорѣ послѣ того въ теоріи трансверсалей, гдѣ она принята за основаніе; а между тѣмъ она еще въ прежнее время принесла много пользы, не говоря уже о значеніи ея у Грековъ, какъ вспомогательной теоремы при доказательствахъ на сферѣ. По важности своей для настоящаго времени она заслуживаетъ, чтобы подробнѣе разсмотрѣть ея исторію, — чему мы и посвящаемъ Примѣчаніе VI.

Кромѣ этого, геометрія обязана Птоломею ученіемъ о проэкціяхъ; занимаясь составленіемъ географическихъ картъ и рѣшеніемъ задачъ гномоники, онъ изложилъ начало ученія о проэкціяхъ въ двухъ превосходныхъ сочиненіяхъ о солнечныхъ часахъ (de l'Analemme) и о плоскошаріяхъ (планисферахъ). Деламбръ думаетъ, что это послѣднее сочиненіе, въ которомъ изучена и приложена стереографическая проэкція, принадлежало Гиппарху, а не Птоломею, какъ предполагали прежде.

Птоломей написалъ также книгу о трехъ измѣреніяхъ тѣлъ, гдѣ онъ первый говоритъ о трехъ прямоугольныхъ осяхъ, къ которымъ въ новѣйшей геометріи относятъ положейіе точекъ пространства^[14].

Изъ многихъ другихъ сочиненій Птоломея о различныхъ предметахъ мы упомянемъ еще объ его Оптикѣ, въ которой мы встрѣчаемъ чисто геометрическую задачу, занимавшую впослѣдствіи многихъ знаменитѣйшихъ геометровъ, именно задачу объ нахожденіи блестящей точки въ сферическомъ зеркалѣ по даннымъ положеніямъ глаза и свѣтящей точки.

Примѣчанія.

1. Commentarius in Euclidem, liber tertius.
2. Euclidis Elementorum liber primus. Item Geronis Alecandrini vocabula quaedam Geometriae antea nunquam edita, graece et latine, per Conradum Dasypodium. Argentinae, 1571, in — 8. — Oratio C. Dasypodu de Discilpinis mathematicis. Ejusriem Heronis Alexandrini Nomenclaturae vocabulorum geometricorum translatio Ejusdem Lexicon mathematicum, ex diversis collectum antiquis scriptis. Argent., 1519, in — 8.
3. Фабрицій (Bibl. graeca, lib. 3, cap. 24) и Геильброннеръ (Hist. Matheseos, p. 398) приписываютъ это сочиненіе Герону младшему, жившему въ Константинополѣ въ VII вѣкѣ нашего лѣтосчисленія. Но Бернардивъ Бальди, также какъ Дасиподій, помѣстилъ его въ число сочиненій Герона старшаго. (См. Cronica de matematici, р. 35).
4. Commentari sopra la storia e le teorie dell' ottica. Bologna, 1814, in 4°. Это сочиненіе состоитъ изъ слѣдующихъ четырехъ частей:
   1. Considerazioni sopra varie parti dell' ottica presso di antichi.
   2. Erone il meccanico del traguardo tradotto dal greco ed illustrato con note.
   3. Dell' iride degli aloni ed de' paregli; Appendice intorno all'ottica di Tolommeo.
5. Si enim in hoc differet solum Geometria a Geodaesia, quod haec quidem eorum est quae sentimas, illa vero noti sensibilium est (Аристотель, 2-я кн. Метафизики, гл. 11-я).
6. Вентури указываетъ три библіотеки, обладающія сочиненіемъ Герона: въ Парижѣ, Страсбургѣ и Вѣнѣ ; въ послѣдней экземпляръ не полонъ; онъ только одинъ упоминается библіографами и считается, по мнѣнію Ламбеція, за трактатъ о Діоптрикѣ (См. Фабриціуса Bibl. graeca, lib. 3, cap. 24; Геильброннера Hist. Math. p. 282). Вентури переводилъ съ копіи экземпляра парижской библіотеки, которая была сравнена съ Страсбургскимъ экземпляромъ. Этотъ послѣдній экземпляръ принадлежалъ по всей вѣроятности Дасиподію. Куда дѣвались другія, принадлежавшія этому геометру, сочиненія Герона?
   Конрадъ Геснеръ говоритъ въ Bibliotheca unisersalis (sive catalogus omnium scriptorum locupletissimus in tribus linguis latina graeca et hebraica), Tiguri 1545, fol, что извѣстный Diego Hurtado de Mendoza, которому Европа обязана многими греческими рукописями, имѣлъ нѣсколько рукописей Герона (смотри листъ 319). Онѣ безъ сомнѣнія находятся въ библіотекѣ Эскуріала, куда поступило драгоцѣнное собраніе Мендозы.
7. Объ этомъ сочиненіи упоминаетъ Теонъ (Комментарій къ Альмагесту. Кн. I. гл. IX).
8. Потомучто съ одной стороны въ комментаріи къ Арату Гиппархъ говоритъ, что имъ найдено рѣшешіе сферическаго треугольника, служащаго для опредѣленія восточной точки эклиптики; съ другой стороны до него мы не находимъ никакого слѣда ни сферической, ни плоской тригонометріи. Деламбръ въ Histoire de l'astronomie ancienne (томъ I. стр. 104) замѣчаетъ, что Архимедъ для опредѣленія діаметра солнца накладывалъ уголъ на квадрантъ, отсюда видно, что онъ не имѣлъ способа вычислять уголъ при вершинѣ равнобедреннаго треугольника по даннымъ основанію и двумъ боковымъ сторонамъ. Тогда не было еще мысли о возможности вычислять хорды для всѣхъ угловъ, т. е. плоская тригомометрія была еще неизвѣстна.
9. Прокла комментарій къ первой книгѣ Евклида, 4-е опред. и 5-я теорема.
10. Математическое Собраніе, 4-я кинга, послѣ 30-й теоремы.
11. Птоломей далъ своему сочиненію объ астрономіи названіе συντάξις μαθηματική; издатели перемѣнили это заглавіе въ «великое сочиненіе»; арабскіе переводчики сдѣлали изъ этого: «величайшее» (Almagesti), откуда и произошло употребляемое теперь названіе Альмагестъ.
12. Карно, въ IX главѣ 1-й книги Géométrie de position, показалъ, какъ изъ этого предложенія можно вывести всю плоскую тригонометрію; послѣ него Фергола занимался тѣмъ же предметемъ и окончательно разработалъ его въ сочиенніи: Dal teorema Tolemaico ritragonsi immediatamente i teoremi delle sezioni angolari di Vieta e di Wallis, e le principale verità proposte nella Trigonometria analitica da moderni. (Первая часть мемуаровъ Неаполитанской Академіи наукъ. 1819).
13. Книга I, глава ХІ, съ заглавіемъ: Предварительныя замѣчанія къ доказательствамъ предложеній о сферѣ.
14. Деламбръ, статья о Птоломеѣ, въ Biorgaphie universalle.