[15]
§ 5. Расположенiе чиселъ натуральнаго ряда по величинѣ.
Пользуясь совершенной индукцiей, мы можемъ доказать предложенiе, обратное тому, которое было приведено въ § 3, 11.
1. Если число отлично отъ числа и не содержится въ комплексѣ , то число содержится въ комплексѣ .
а) Предложение справедливо при . Въ самомъ дѣлѣ, мы получаемъ комплексъ , выключая изъ натуральнаго ряда одно только
[16]число (§ 3, 7); поэтому каждое натуральное число, отличное отъ , содержится въ комплексѣ .
b') Допустимъ теперь, что предложенiе 1 доказано для нѣкотораго числа . Пусть будетъ число отличное отъ . Дано, что
число не содержится въ комплексе и, слѣдовательно, (согласно допущенiю) число содержится въ комплексѣ .
Требуется доказать:
если число отлично отъ и число не содержится въ комплексѣ , то число содержится въ комплексѣ .
При доказательствѣ мы можемъ также принимать, что число отлично отъ ; если бы , то число содержалось бы въ комплексѣ (§ 3, 6).
Такъ какъ число не содержится въ комплексе , то въ немъ не содержится и число : если бы послѣднее входило въ составъ комплекса , то въ его составъ, согласно опредѣленiю (§ 3, β'), должно было бы войти и число .
Согласно заданiю, число входитъ въ составъ комплекса , такъ какъ при этомъ (§ 3, 7)
,
|
(1)
|
число же отлично отъ , то оно необходимо входитъ въ составъ комплекса , что и требовалось доказать.
Такимъ образомъ, въ силу теоремы о совершенной индукцiи, предложенiе 1 справедливо при , а также для всѣхъ чиселъ , содержащихъ въ комплексѣ , т. е. для всѣхъ чиселъ натуральнаго ряда. Изъ всего сказаннаго (§ 3, 11 и § 5, 1) вытекаетъ слѣдующiй выводъ: если числа и различны, то либо число содержится въ комплексѣ , либо же число содержится въ комплексѣ ; то и другое вмѣстѣ не можетъ имѣть мѣста. Это даетъ возможность расположить числа натуральнаго ряда по величинѣ.
Дополнимъ опредѣленiе § 3, 11, именно: если число содержится въ комплексѣ , то мы будемъ говорить, что число больше числа , а число меньше числа .
Следовательно, если число отлично отъ числа ; и не больше, нежели , то оно меньше числа . Относительно двухъ различныхъ чиселъ и такимъ образомъ строго опредѣлено, которое изъ нихъ больше, которое меньше. Если есть большее изъ этихъ двухъ чиселъ, то мы будемъ писать
и ;
|
|
одно изъ этихъ соотношенiй представляетъ собой слѣдствiе другого.
[17]Вмѣстѣ съ тѣмъ предложенiе § 3, 10* можетъ быть дополнено слѣдующимъ образомъ.
2. Если число меньше, нежели , а меньше, нежели , то число меньше, нежели .
3. Если число меньше, нежели , то меньше, нежели .
Въ самомъ дѣлѣ,
и .
|
(2)
|
Если теперь , то комплексъ представляетъ собой правильную часть комплекса , при чемъ число не содержится въ комплексѣ ; слѣдовательно, комплексъ , входитъ въ составъ комплекса ; комплексъ-же составляетъ часть комплекса . Это и составляетъ содержанiе доказываемаго предложенiя [1].
4. Bcѣ комплексы имѣютъ одинаковую мощность — и именно ту же, что и комплексъ .
Дѣйствительно, если отнесемъ каждый элементъ комплекса числу комплекса , то между комплексами и , будетъ установлено однозначное соотвѣтствiе; они имѣютъ, слѣдовательно, одинаковую мощность. Точно такъ же мы получаемъ однозначное соотвѣтствiе между комплексами и , если мы отнесемъ каждый элементъ комплекса элементу комплекса вслѣдствiе этого комплексъ имѣетъ ту-же мощность, что и комплексъ . Въ силу закона индукцiи, мы отсюда заключаемъ, что комплексы и имѣютъ одну и ту-же мощность. Если мы обозначимъ мощность всѣхъ этихъ комплексовъ черезъ , то число совпадаетъ съ , а потому есть безконечное или, по Кантору (G. Cantor), трансфинитное число.
[18]Всякiй комплексъ, имѣющiй ту же мощность, что и комплексъ , называется исчислимымъ комплексомъ.
5. Если комплексъ содержитъ въ себѣ безконечный комплексъ , то онъ и самъ представляетъ собой безконечный комплексъ.
Въ самомъ дѣлѣ, пусть будетъ элементъ, не входящiй въ составъ комплекса ; составимъ комплексъ . Такъ какъ по условiю комплексъ безконеченъ, то онъ можетъ быть связанъ однозначнымъ соотвѣтствiемъ съ комплексомъ . Если мы затѣмъ отнесемъ каждый изъ остальныхъ элементовъ комплекса (т. е. элементы комплекса ) самому себѣ, то этимъ будетъ установлено однозначное соотвѣтствiе между и . Если поэтому есть число комплекса , то оно совпадаетъ съ , и потому безконечно.
6. Если мощность какого либо комплекса не совпадаетъ съ мощностью ни одного изъ чиселъ натуральнаго ряда, то онъ содержитъ въ себѣ часть, имѣющую мощность натуральнаго ряда, а потому онъ безконеченъ.
Комплексъ , какъ всякiй комплексъ, содержитъ въ себѣ часть мощности . Выдѣлимъ такую часть и отнесемъ къ ней число .
Теперь допустимъ, что комплексъ имѣетъ часть мощности натуральнаго числа , содержащую въ себѣ . Такъ какъ самый комплексъ не имѣетъ мощности натуральнаго числа, то комплексъ представляетъ собою правильную часть комплекса , — иначе говоря, въ комплексѣ имеются элементы, которыхъ нѣтъ въ комплексѣ . Выбравъ одинъ опредѣленный изъ этихъ элементовъ, отнесемъ ему число и присоединимъ его къ комплексу . Такимъ образомъ мы составимъ комплексъ , заключающiй въ себѣ комплексъ и представляющiй собой часть комплекса . Въ силу закона индукцiи мы отсюда заключаемъ, что такое построенiе возможно для каждаго числа , — иными словами, что каждому числу натуральнаго ряда можно отнести элементъ комплекса , что и требовалось доказать.
Изъ всего сказаннаго вытекаетъ, что понятiе о натуральномъ числѣ совпадаетъ съ понятiемъ о конечномъ числѣ, какъ оно было установлено въ § 3, 3.
7. Во всякомъ конечномъ числовомъ комплексѣ , содержащемъ натуральныхъ чиселъ, имѣется одно наибольшее и одно наименьшее число.
Само собою разумѣется, что теорема справедлива при ; въ этомъ случаѣ комплексъ состоитъ изъ одного только числа, которое само можетъ быть разсматриваемо, какъ самое большее и самое меньшее число этого комплекса. Допустимъ теперь, что теорема доказана для
[19]нѣкотораго опредѣленнаго значенiя , и пусть , будетъ самое меньшее, самое большее число комплекса . Каждый комплексъ получается изъ нѣкотораго комплекса путемъ присоединенiя одного новаго числа . Если теперь , то представляетъ собою самое меньшее, самое большее число комплекса ; если , то есть самое меньшее, самое большее число комплекса ; если, наконецъ, , то есть самое меньшее, самое большее число комплекса . Въ силу совершенной индукцiи, предложенiе такимъ образомъ доказано.