Энциклопедия элементарной математики. Том 1 (Вебер,Каган)/Книга 1/Глава 1/§ 5/ДО

Энциклопедія элементарной математики. Томъ I. Элементарная алгебра и анализъ. — Книга I. Основанiя ариѳметики. Глава I. Натуральныя числа. § 5. Расположенiе чиселъ натуральнаго ряда по величинѣ.
авторъ Генрихъ Веберъ (1842—1913), пер. Веніаминъ Каганъ (1869—1953)

Оригинал: нем. Lehrbuch der Algebra. — См. Оглавленіе. Перевод опубл.: 1906. Источникъ: Сканы, размещённые на Викискладе

§ 5. Расположенiе чиселъ натуральнаго ряда по величинѣ.

Пользуясь совершенной индукцiей, мы можемъ доказать предложенiе, обратное тому, которое было приведено въ § 3, 11.

1. Если число $a$ отлично отъ числа $b$ и не содержится въ комплексѣ $N_{b}$, то число $b$ содержится въ комплексѣ $N_{a}$.

а) Предложение справедливо при $a=1$. Въ самомъ дѣлѣ, мы получаемъ комплексъ $N_{1}$, выключая изъ натуральнаго ряда $N$ одно только число $1$ (§ 3, 7); поэтому каждое натуральное число, отличное отъ $1$, содержится въ комплексѣ $N_{1}$.

b') Допустимъ теперь, что предложенiе 1 доказано для нѣкотораго числа $a$. Пусть $b$ будетъ число отличное отъ $a$. Дано, что

число $a$ не содержится въ комплексе $N_{b}$ и, слѣдовательно, (согласно допущенiю) число $b$ содержится въ комплексѣ $N_{a}$.

Требуется доказать:

если число $b$ отлично отъ $a+1$ и число $a+1$ не содержится въ комплексѣ $N_{b}$, то число $b$ содержится въ комплексѣ $N_{a+1}$.

При доказательствѣ мы можемъ также принимать, что число $b$ отлично отъ $a$; если бы $b=a$, то число $a+1$ содержалось бы въ комплексѣ $N_{b}$ (§ 3, 6).

Такъ какъ число $a+1$ не содержится въ комплексе $N_{b}$, то въ немъ не содержится и число $a$: если бы послѣднее входило въ составъ комплекса $N_{b}$, то въ его составъ, согласно опредѣленiю (§ 3, β'), должно было бы войти и число $a+1$.

Согласно заданiю, число $b$ входитъ въ составъ комплекса $N_{a}$, такъ какъ при этомъ (§ 3, 7)

$N_{a}=N_{a+1}+(a+1)$,

(1)

число же $b$ отлично отъ $a+1$, то оно необходимо входитъ въ составъ комплекса $N_{a+1}$, что и требовалось доказать.

Такимъ образомъ, въ силу теоремы о совершенной индукцiи, предложенiе 1 справедливо при $a=1$, а также для всѣхъ чиселъ $a$, содержащихъ въ комплексѣ $N_{1}$, т. е. для всѣхъ чиселъ натуральнаго ряда. Изъ всего сказаннаго (§ 3, 11 и § 5, 1) вытекаетъ слѣдующiй выводъ: если числа $a$ и $b$ различны, то либо число $a$ содержится въ комплексѣ $N_{b}$, либо же число $b$ содержится въ комплексѣ $N_{a}$; то и другое вмѣстѣ не можетъ имѣть мѣста. Это даетъ возможность расположить числа натуральнаго ряда по величинѣ.

Дополнимъ опредѣленiе § 3, 11, именно: если число $b$ содержится въ комплексѣ $N_{a}$, то мы будемъ говорить, что число $b$ больше числа $a$, а число $a$ меньше числа $b$.

Следовательно, если число $a$ отлично отъ числа $b$; и не больше, нежели $b$, то оно меньше числа $b$. Относительно двухъ различныхъ чиселъ $a$ и $b$ такимъ образомъ строго опредѣлено, которое изъ нихъ больше, которое меньше. Если $b$ есть большее изъ этихъ двухъ чиселъ, то мы будемъ писать

$b>a$ и $a<b$;

одно изъ этихъ соотношенiй представляетъ собой слѣдствiе другого. Вмѣстѣ съ тѣмъ предложенiе § 3, 10^* можетъ быть дополнено слѣдующимъ образомъ.

2. Если число $a$ меньше, нежели $b$, а $b$ меньше, нежели $c$, то число $a$ меньше, нежели $c$.

3. Если число $a$ меньше, нежели $b$, то $a+1$ меньше, нежели $b+1$.

Въ самомъ дѣлѣ,

$N_{a+1}=N_{a}-(a+1)$ и $N_{b+1}=N_{b}-(b+1)$.

(2)

Если теперь $a<b$, то комплексъ $N_{b}$ представляетъ собой правильную часть комплекса $N_{a}$, при чемъ число $a+1$ не содержится въ комплексѣ $N_{b}$; слѣдовательно, комплексъ $N_{b}$, входитъ въ составъ комплекса $N_{a+1}$; комплексъ-же $N_{b}-(b+1)$ составляетъ часть комплекса $N_{a+1}$. Это и составляетъ содержанiе доказываемаго предложенiя ^[1].

4. Bcѣ комплексы $N_{a}$ имѣютъ одинаковую мощность — и именно ту же, что и комплексъ $N$.

Дѣйствительно, если отнесемъ каждый элементъ $a$ комплекса $N$ числу $a+1$ комплекса $N_{1}$, то между комплексами $N$ и $N_{1}$, будетъ установлено однозначное соотвѣтствiе; они имѣютъ, слѣдовательно, одинаковую мощность. Точно такъ же мы получаемъ однозначное соотвѣтствiе между комплексами $N_{a}$ и $N_{a+1}$, если мы отнесемъ каждый элементъ $n$ комплекса $N_{a}$ элементу $n+1$ комплекса $N_{a+1}$ вслѣдствiе этого комплексъ $N_{a+1}$ имѣетъ ту-же мощность, что и комплексъ $N_{a}$. Въ силу закона индукцiи, мы отсюда заключаемъ, что комплексы $N_{a}$ и $N$ имѣютъ одну и ту-же мощность. Если мы обозначимъ мощность всѣхъ этихъ комплексовъ черезъ $\omega$, то число $\omega$ совпадаетъ съ $\omega +1$, а потому $\omega$ есть безконечное или, по Кантору (G. Cantor), трансфинитное число.

Всякiй комплексъ, имѣющiй ту же мощность, что и комплексъ $N$, называется исчислимымъ комплексомъ.

5. Если комплексъ $M$ содержитъ въ себѣ безконечный комплексъ $A$, то онъ и самъ представляетъ собой безконечный комплексъ.

Въ самомъ дѣлѣ, пусть $\alpha$ будетъ элементъ, не входящiй въ составъ комплекса $M$; составимъ комплексъ $M'=M+\alpha$. Такъ какъ по условiю комплексъ $A$ безконеченъ, то онъ можетъ быть связанъ однозначнымъ соотвѣтствiемъ съ комплексомъ $A+\alpha$. Если мы затѣмъ отнесемъ каждый изъ остальныхъ элементовъ комплекса $M$ (т. е. элементы комплекса $M-A$) самому себѣ, то этимъ будетъ установлено однозначное соотвѣтствiе между $M'$ и $M$. Если поэтому $\omega$ есть число комплекса $M$, то оно совпадаетъ съ $\omega +1$, и потому безконечно.

6. Если мощность какого либо комплекса $M$ не совпадаетъ съ мощностью ни одного изъ чиселъ натуральнаго ряда, то онъ содержитъ въ себѣ часть, имѣющую мощность натуральнаго ряда, а потому онъ безконеченъ.

Комплексъ $M$, какъ всякiй комплексъ, содержитъ въ себѣ часть $M_{1}$ мощности $1$. Выдѣлимъ такую часть и отнесемъ къ ней число $1$.

Теперь допустимъ, что комплексъ $M$ имѣетъ часть $M_{a}$ мощности натуральнаго числа $a$, содержащую въ себѣ $M_{1}$. Такъ какъ самый комплексъ $M$ не имѣетъ мощности натуральнаго числа, то комплексъ $M_{a}$ представляетъ собою правильную часть комплекса $M$, — иначе говоря, въ комплексѣ $M$ имеются элементы, которыхъ нѣтъ въ комплексѣ $M_{a}$. Выбравъ одинъ опредѣленный изъ этихъ элементовъ, отнесемъ ему число $a+1$ и присоединимъ его къ комплексу $M_{a}$. Такимъ образомъ мы составимъ комплексъ $M_{a+1}$, заключающiй въ себѣ комплексъ $M_{a}$ и представляющiй собой часть комплекса $M$. Въ силу закона индукцiи мы отсюда заключаемъ, что такое построенiе возможно для каждаго числа $a$, — иными словами, что каждому числу натуральнаго ряда можно отнести элементъ комплекса $M$, что и требовалось доказать.

Изъ всего сказаннаго вытекаетъ, что понятiе о натуральномъ числѣ совпадаетъ съ понятiемъ о конечномъ числѣ, какъ оно было установлено въ § 3, 3.

7. Во всякомъ конечномъ числовомъ комплексѣ $S_{a}$, содержащемъ $a$ натуральныхъ чиселъ, имѣется одно наибольшее и одно наименьшее число.

Само собою разумѣется, что теорема справедлива при $a=1$; въ этомъ случаѣ комплексъ $A$ состоитъ изъ одного только числа, которое само можетъ быть разсматриваемо, какъ самое большее и самое меньшее число этого комплекса. Допустимъ теперь, что теорема доказана для нѣкотораго опредѣленнаго значенiя $a$, и пусть $z_{1}$, будетъ самое меньшее, $z_{2}$ самое большее число комплекса $S_{a}$. Каждый комплексъ $S_{a+1}$ получается изъ нѣкотораго комплекса $S_{a}$ путемъ присоединенiя одного новаго числа $z_{0}$. Если теперь $z_{0}<z_{1}$, то $z_{0}$ представляетъ собою самое меньшее, $z_{2}$ самое большее число комплекса $S_{a+1}$; если $z_{0}>z_{2}$, то $z_{1}$ есть самое меньшее, $z_{0}$ самое большее число комплекса $S_{a+1}$; если, наконецъ, $z_{1}<z_{0}<z_{2}$, то $z_{1}$ есть самое меньшее, $z_{2}$ самое большее число комплекса $S_{a+1}$. Въ силу совершенной индукцiи, предложенiе такимъ образомъ доказано.

Примѣчанія.

1. Это доказательство также изложено очень сжато.

   Прежде всего покажемъ, что при $b>a$ число $a+1$ не содержится въ комплексѣ $N_{b}$. Такъ какъ $b>a$, то число $b$ принадлежитъ комплексу $N_{a}$ (опр. § 3,11). Соотношенiе (1) обнаруживаетъ, что число $b$ либо совпадаетъ при этомъ съ $a+1$, либо содержится въ комплексѣ $N_{a+1}$. Если число $b$ совпадаетъ съ $a+1$, то $N_{b}$ есть $N_{a+1}$, а потому число $a+1$ въ его составъ не входитъ (§ 3,9). Если же число $b$ входитъ въ составъ комплекса $N_{a+1}$, то и въ этомъ случаѣ число $a+1$ не входитъ въ составъ комплекса $N_{b}$ (3,11).

   По условiю $b>a$, т. е. число $b$ принадлежитъ комплексу $N_{a}$, а потому комплексъ $N_{b}$ входитъ въ составъ комплекса $N_{a}$ (§ 3, 10). Но такъ какъ число $a+1$ въ комплексѣ $N_{b}$ не содержится, то мы можемъ исключить изъ комплекса $N_{a}$ число $(a+1)$, и комплексъ $N_{b}$ будетъ все же содержаться въ оставшемся комплексѣ. Но оставшiйся комплексъ [соотн. (2)] есть $N_{a+1}$; слѣдовательно, комплексъ $N_{b}$ входитъ въ составъ комплекса $N_{a+1}$, а потому въ составъ комплекса $N_{a+1}$ входитъ и число $b+1$, принадлежащее комплексу $N_{b}$. Иными словами, $b+1>a+1$ (опр. § 3, 11).