Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов/Декарт

Третья эпоха: Декарт.
автор Мишель Шаль, пер. В.Я. Цингер

Оригинал: фр. Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en Géométrie particulièrement de celles qui se rapportent à la Géométrie moderne. — Из цикла «Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов». Перевод созд.: 1829-1835 гг., опубл: 1837, перев. 1870-83 гг. Источник: Индекс в Викитеке

Третья эпоха: Декарт.

1. Декарт (1596—1650). Важнейшая услуга была оказана геометрии Декартом. Этот философ, благодаря неоцененной мысли своей о приложении алгебры к теории кривых линий, создал орудие для преодоления препятствий, останавливавших до тех пор величайших геометров, и существенно изменил вид математических наук^[1].

Это учение Декарта, ни малейшего зачатка которого мы не находим в сочинениях древних геометров и о котором одном только, может быть, можно сказать то, что сказал Монтескье о своем Esprit de lois: «proles sine matre creata», — это учение, говорю я, придало геометрии характер отвлеченности и всеобщности, существенно отличивший ее от геометрии древних. Способы, созданные Каваллери, Ферма, Робервалем, Григорием С. Винцентом, носили также отпечаток этой общности в их метафизических принципах; но они не имели её в приложениях. Только идея Декарта доставила средство прилагать эти способы однообразным и общим образом; она была необходимым введением к новым исчислениям Лейбница и Ньютона, которые не замедлили возродиться из этих превосходных способов.

Геометрия Декарта, кроме этого характера всеобъемлемости, представляет в сравнении с геометриею древних еще другое особое отличие, на которое следует обратить, внимание: она, посредством одной формулы, указывает общие свойства целых групп кривых линий, так что, когда этим путем открывается какое-нибудь свойство одной кривой, тотчас же узнаются такие же или подобные свойства во множестве других линий. До этих же пор изучались только отдельные свойства некоторых кривых, рассматриваемых порознь, и всегда посредством таких приемов, которые не устанавливали никакой связи между различными кривыми.

С этих пор началось быстрое развитие геометрии, и успехи её распространились на все другие науки, находящиеся с нею в прикосновении. Сама алгебра получила в ней полезное пособие, её символические действия стали более наглядны, значение её расширилось и обе эти главные отрасли наших положительных знаний пошли с этих пор одинаково верными шагами.

Достаточно указать на одно из первых и самих важных преимуществ, доставленных геометриею алгебре, именно на истолкование и употребление отрицательных решений, которые до тех пор считались не имеющими никакого значения и так сильно затрудняли древних аналистов.

Способ неопределенных коэффициентов, который Декарт изобрел в своей геометрии и которым он с таким успехом пользовался, есть также одно яз самых глубокомысленных и самых полезных открытий в анализе.

Прибавление. В письмах Декарта встречается много мест, относящихся к геометрии. Его книга Opuscula posthuma (Amst. 1701, in 4) также заключает в себе несколько отрывков по геометрии. Жаль, что никто еще не подумал собрать все эти рассеянные отрывки и присоединить их к одному из многочисленных изданий геометрии Декарта.

Мы ограничимся указанием в письмах знаменитого философа на один особый метод, изобретенный им для решения задачи, занимавшей неоднократно как его самого, так и его современников Фермата, Роберваля и Паскаля, именно задачи о касательной к циклоиде. Метод Декарта, в то время пользовавшийся большою известностью, чрезвычайно прост и может применяться, как заметил это и Декарт, к укороченным и растянутым циклоидам и даже вообще ко всем кривым, образуемым точкою плоской кривой, катящейся по другой, неподвижной кривой. Способ состоит в том, что обе кривые рассматриваются как многоугольники с бесконечным числом сторон. Многоугольники эти прикасаются друг к другу по общей стороне и потому в каждый момент имеют две общие вершины; во время бесконечно-малого перемещения первый многоугольник вращается около одной из вершин, остающейся неподвижной, и точка многоугольника, образующая кривую, описывает следовательно дугу круга, центр которого находится в неподвижной вершине; нормаль к этой дуге, представляющей элемент описываемой кривой, проходит таким образом через упомянутую вершину.

Этот способ, существенно отличающийся от всех других способов проведения касательных, применяется с тех пор постоянно, благодаря его необыкновенной простоте. Но без сомнения вследствие именно этой простоты он не обратил на себя должного внимания геометров; его употребляли только в этой самой задаче и довольствовались распространением его еще на сферические эпициклоиды. Исследовав, в чем заключаются отличительные особенности и различия этого способа от других решений задачи о касательных, мы старались узнать, не способен ли принцип, лежащий в его основании, к такому обобщению, которое делало бы его применимым ко всякой другой задаче.

Следующая теорема представляет, как нам кажется, обобщение этого способа Декарта.

Когда плоская фигура получает бесконечно малое перемещение в своей плоскости, то всегда существует точка, остающаяся во время этого движения неподвижной.

Нормали, проводимые в различных точках фигуры к траекториям, описываемым этими точками во время бесконечно малого движения, проходят все через упомянутую неподвижную точку.

На основании этой теоремы для построения нормали к кривой, описываемой точкою движущейся плоской фигуры, достаточно определить точку, которая остается неподвижной в тот момент, когда образующая точка приходит в рассматриваемую точку кривой. Положение неподвижной точки определяется при помощи условий движения фигуры.

Если, например, известно движение двух точек фигуры, то искомая неподвижная точка определится пересечением нормалей к описываемым кривым.

Пусть прямая данной длины движется так, что концы её остаются на двух неподвижных прямых; известно, что при этом каждая точка как на самой прямой, так и вне её, но неизменно с нею соединенная, будет описывать эллипс. Чтобы определить нормаль к этой кривой, проведем через концы движущейся прямой перпендикуляры к неподвижным прямым: искомая нормаль пройдет через точку пересечения этих перпендикуляров.

Движение фигуры может быть определено различными другими условиями, с помощью которых также легко удается найти эту неподвижную точку.

Положим, например, что описывается конхоида Никомеда точкою прямой линии, проходящей чрез неподвижную точку и скользящею одним концом по неподвижной прямой. Рассмотрим движущуюся прямую в каком-нибудь положении; восстановим к ней перпендикуляр в неподвижной точке и другой перпендикуляр к неподвижной линии в той точке, где лежит конец движущейся прямой. Пересечением этих двух перпендикуляров определится искомая точка, через которую проходит нормаль конхоиды.

Мы не будем здесь останавливаться на других разнообразных условиях перемещения плоской фигуры и не будет изыскивать те кривые, к которым помощью этого приема легко проводятся касательные.

Предыдущего достаточно для указания, что изложенная нами теорема представляет обобщение идеи, высказанной Декартом по поводу касательной к циклоиде, и что теорема эта ведет к особому способу касательных, отличающемуся от всех других и даже от способа Роберваля, хотя он также основан на мысли о движении. Заметим впрочем, что применение этого легкого способа, также как и способа Роберваля, ограниченно, потому что в нем предполагаются известными геометрические условия перемещения фигуры, точка которой описывает данную кривую. Способ этот применим однако как к большому числу особых кривых, так и к целым семействам.

Приложения нашей теоремы не ограничиваются геометрией, но могут быть также полезны и в механике при вычислении живых сил^[2]. Действительно, из теоремы следует, что живые силы различных точек подвижной фигуры пропорциональны квадратам их расстояний от той точки, которая в данный момент остается неподвижною; следовательно, если положение этой точки известно, то достаточно знать живую силу еще одной какой-нибудь точки фигуры. Понселе заявил мне, что им сделано подобное приложение этой теоремы ко многим вопросам о машинах — вопросам, в которых до сих пор не существовало никакого геометрического способа для вычисления живых сил.

Несколько лет тому назад (См. Bulletin universel des sciences, t. 14) мы представили эту теорему как частный случай теоремы о каком либо конечном перемещении фигуры в плоскости и даже как частный случай более общей теоремы о двух подобных фигурах, расположенных как угодно на плоскосии. Обе эти теоремы зависят в свою очередь от следующего еще более общего принципа.

Рассмотрим на плоскости две фигуры, которые первоначально были перспективами одна другой и потом помещены на плоскости каким бы то ни было образом; каждая точка одной фигуры будет при этом иметь себе соответственную на другой; существует вообще три точки одной фигуры, которые совпадают с своими соответственными точками на другой фигуре; одна из этих точек всегда действительная, две же другие могут быть мнимыми.

Отсюда следует, что на одной фигуре существуют также три прямые, совпадающие с соответственными прямыми второй фигуры: это именно прямые, соединяющие три сказанные точки.

Одна из таких прямых всегда действительная; две другие могут быть мнимыми.

Когда две фигуры подобны, что представляет частный случай перспективы, то две из трех точек и две из трех прямых будут всегда мнимые; третья точка действительная; третья прямая также действительная, но лежит в бесконечности.

Тоже будет и в том случае, когда две фигуры равны между собою.

Этим свойствам плоских фигур существуют соответствующие в фигурах трех измерений и я вывел уже несколько теорем, относящихся к этой теории (См. Bulletin universel des sciences, t. 14, p. 321, 1830).

2. Дух и приемы геометрии Декарта слишком коротко известны всем, знакомым даже только с первыми основными началами математики, так что нам нет надобности входить в подробности по этому предмету. Мы прямо перейдем к обзору сочинений важнейших писателей, живших во время Декарта и развивавших его геометрию, расширяя при её помощи круг математических истин преимущественно в области теории кривих линий.

Фермат. Прежде всех должно упомянуть о Фермате и Робервале. Еще до появления геометрии Декарта Фермат сам употреблял подобные же аналитические приемы. Но сочянения его, основывавшиеся главным образом на его прекрасном способе de maximis et minimis, по своим свойствам и своему особому характеру приближались скорее к геометрическим сочинениям древних, чем к трудам Декарта.

Роберваль. Роберваль, вследствие ревнивого соперничества, существовавшего между ним и великим философом, критиковал до малейших подробностей новую геометрию и этим существенно способствовал её распространению. С другой стороны он некоторым образом воздал ей должный почет, оставив нам искусное применение свойственного ей способа к построению мест посредством уравнений в сочинении под заглавием De resolutione aequationum.

3. Де-Бон. (De Beaune, 1601 — 1651). При появлении геометрии Декарта дух и значение её были усвоены преимущественно Де-Боном; он облегчил чтение новой геометрии примечаниями, которые ценились высоко самим Декартом и которые были прибавлены к некоторым местам, затруднявшим по краткости изложения и по новости предмета даже лучших геометров.

Де-Бону первому принадлежит мысль ввести в теорию кривых линий свойства касательных, как элемент для построения кривых; он же, по поводу одной задачи подобного рода, предложенной им Декарту, изобрел обратный способ касательных. Он предложил именно построить такую кривую, чтобы субтангенс (считаемый по оси абсцисс), разделенный на ординату, имел постоянное отношение к отрезку ординаты, заключающемуся между кривою и постоянною прямою, проходящею через начало кривой под углом 45° к оси абсцисс^[3][4].

Задача эта, трудная даже при пособии интегрального исчисления и по изобретении этого исчисления занимавшая собою Лейбница и братьев Бернулли, была разрешена Декартом, привыкшим побеждать самые большие затруднения в геометрии: Декарт сумел привести эту задачу к геометрическим местам, рассматривая каждую точку кривой как пересечение двух бесконечно-близких касательных. Этим путем он открыл, что кривая имеет асимптоту параллельную постоянной прямой и что субтангенс, взятый по направлению этой прямой, имеет постоянную величину. Свойства эти привели Декарта к построению касательных к кривой и к построению самой кривой посредством двух линеек, движущихся с определенными скоростями. Несоизмеримость этих движений показала ему, что кривая принадлежит к разряду механических, к которым его анализ не применим. Поэтому он и не дал её уравнения. (Lettres de Descartes, t, VI, p. 137)^[5].

Декарт в своей геометрии рассматривал только такие кривые, уравнения которых по его системе координат были определенной конечной степенй; он называл их кривыми геометрическими, присвоив остальным название механических. Лейбниц ввел название алгебраические и трансцендентные кривые. Теперь употребляют безразлично выражения геометрические и алгебраические для обозначения кривых, бывших предметом геометрии Декарта. Мы будем пользоваться постоянно первым названием, потому что обозначаемые им кривые отличаются некоторыми общими геометрическими свойствами столько же, как и видом их уравнений; притом эти свойства могут быть доказываемы путем чисто геометрическим без помощи системы координат и алгебраических формул Декарта.

4. Схоутен (Schooten, 16...—1659) написал пространный комментарий к геометрии Декарта и дал многочисленные приложения его способа в сочинении Exercitationes Geometricae, преимущественно в 3-й книге, представляющей восстановление Loca plana Аполлония, и также в 5-ой книге, имеющей заглавие: De lineis curvis superiorum generum, ex solidi sectione ortis. Здесь находим мы первый пример применения способа координат к кривым в пространстве; впрочем дело идет пока только о плоских кривых и Схоутен употребляет только две координаты. Но самые вопросы подобного рода были тогда еще новы и были первым шагом в аналитической геометрии трех измерений, которая, как увидим в конце третьей эпохи, развилась только спустя пятьдесят лет.

Схоутен написал еще трактат об органическом образовании конических сечений, где он указывает различные способы чертить эти кривые непрерывным движением. Черчение эллипса помощию точки прямой, скользящей концами по сторонам угла, было известно еще прежде: оно указано было Гвидо Убальди и Стевином и ведет начало еще от от древних геометров, о чем нами было уже сказано по поводу Прокла [см. гл. I, n° 45]. Схоутен обобщил этот прием, распространив его на случай, когда образующая точка находится вне прямой. В сочинении, кроме способов черчения конических сечений, находим вычисление их квадратур по способу неделимых Кавальери.

Прибавление. Арабы также занимались органическим образованием кривых линий и в особенности конических сечений. Это видно из заглавии трех следующих сочинений, находящихся в Лейденской библиотеке.

1. Ahmed ben Ghalit Sugiareus: De conicarum sectionum descriptione.
2. Abu Schel Cumaeus: De circino perfecto, quo etiam sectiones conicae et aliae lineae curvae describi possunt.
3. Mah. ben Husein: De circino perfecto et formatione linearum. (См. Catalogue librorum tam impressorum quam manuscriptorum bibliothecae publicae universitatis Lugduno Batavae; in fol. 1716, p. 454, 455).

5. Вторая книга Exercitationes Geometricae есть собрание задач, разрешаемых посредством одной прямой линии. Это первые примеры, относящиеся к той особой геометрии, которая в последнее время исследована в подробности Сервуа и Брианшоном под именем геометрии линейки. В конце 2-й книги, под заглавием Appendix, Схоутен решает двенадцать задач, в которых точки или линии предполагаются невидимыми или недоступными по причине препятствий. Схоутен говорит, что на подобные изыскания он наведен был чтением сочинения Geometria peregrinans, автор которого решает при помощи одних кольев задачи практической геометрии, приложимые главным образом к военному делу. Сочинение это, без имени автора и без указания времени издания, не показалось Шутену старым и по его мнению напечатано было в Польше.

6. Схоутен принадлежал к числу тех математиков, которые, в виду могущественных и возбуждавших удивление пособий, оказываемых анализом геометрии, приписывали аналитическим приемам ясность и изящество в доказательствах и построениях древних геометров, обвиняя их в сокрытии настоящего пути к своим открытиям ради возбуждения больного удивления в потомстве. В подтверждение этого мнения, Схоутен на многих примерах ^[6] показал, что синтетический способ всегда может был выведен из аналитического. Но Схоутен не позаботился разъяснить истинное значение слова анализ, как его понимали древние, и в особенности тех примеров анализа, которые нам оставлены Паппом; в этом заключается причина ошибки Схоутена: разумея под анализом только употребление алгебры и не находя никакого следа её до Диофанта, он вывел заключение, что древние скрывали свой анализ.

Это обвинение было высказано в первый раз Нониусом в его Алгебре и потом повторено во II главе Алгебры Валлиса; впоследствии оно потеряло значение и сочтено было неосновательным.

7. Cлюз (Sluze, 1623—1685) и Худде (Hudde, 1640—1704) усовершенствовали способы Декарта и Фермата для проведения касательных и для изыскания maxima и minima; Слюз пополнил прекрасное построение уравнений третьей и четвертой степени посредством круга и параболы, данное Декартом, показав, что для этого может служить круг и какое угодно коническое сечение данной величины; обобщение это было важно для того времени.

8. Де-Витт (De Witt, 1625—1672), знаменитый пенсионарий Голландии, упростил аналитическую теорию геометрических мест Декарта; он изобрел новую и остроумную теорию конических сечений, основанную на различных построениях этих кривых на плоскости без помощи конуса; из этой теории он вывел важнейшие свойства конических сечений чисто-геометрическим путем.

Построения Де-Витта приводятся к пересечениям прямых линий, представляющих большею частью стороны движущихся углов. До этого времени подобный способ построения известен был только для параболы. Построения эллипса и гиперболы или прямо основывались на круге или требовали пособия этой кривой.

Должно впрочем заметить, что уже Кавальери старался найти построение эллипса и гиперболы помощью прямой линии, подобное построению параболы; его изыскания имели успех, доставивший этому знаменитому геометру, по собственному его признанию, живое удовольствие^[7]. Вот основание его способа, которое мы для ясности излагаем в более общем виде: «Представим себе угол и проведем ряд секущих, параллельных между собою; из точек встречи каждой секущей со сторонами угла проведем соответственно прямые к двум неподвижным точкам; пары таких прямых будут пересекаться в точках, геометрическое место которых есть коническое сечение, проходящее через две неподвижные точки».

Кавальери доказывает не эту общую теорему, а один из частных случаев её: у него рассматривается угол прямой, неподвижные точки берутся на сторонах угла и направление секущих таково, что эти неподвижные точки служат вершинами кривой.

Таким образом мысль, руководившая Де-Виттом при построении конических сечений помощью прямой линии, не была совершенно новая; но Кавальери ограничился только одною весьма частною теоремою из этой в высшей степени богатой результатами теории, и потому сочинение Де-Витта представляло важную новость, на которую нельзя не обратить внимания в истории геометрии.

Построения Де-Витта, кроме новизны, заключали в себе зародыш органического образования конических сечений, данного Ньютоном в 1-й книге Principia и потом повторенааго в Enumeratio linearum tertii ordinis и в Arithmetica universalis. И действительно, большинство теорем Де-Витта получается из теоремы Ньютона, если предположим в ней угол равным нулю и вершину его в бесконечности.

Из предисловия к сочинению Де-Витта видно, что автор смотрел на свое сочинение, как на введение в общую теорию и перечисление кривых линий высшего порядка. Эта плодотворная мысль была осуществлена через пятьдесят лет Ньютоном, Маклореном и Брайкенриджем.

9. Валлис (Wallis, 1616—1703) написал первый Аналитический трактат о конических сечениях в духе Декартовой геометрии. Но по преимуществу занимался он тою частию геометрии, к которой относятся открытия Архимеда. Соединяя в Арифметике бесконечных анализ Декарта со способом неделимых Кавальери, он значительно способствовал успехам геометрии в тех вопросах, которые теперь относятся к области интегрального исчисления.

10. Гюйгенс, Фан Герет и Нейль способствовали также развитию Декартовой геометрии.

Ван Герет (Van Heuraet) и Нейль (Neil) первые разрешили задачу о выпрямлении кривой линии; задача эта, по мнению некоторых геометров того времени, считалась абсолютно неразрешимой и представляла весьма большие и совершенно особые затруднения.

Примечания

1. Приложение алгебры к теории кривых линий есть предмет Геометрии Декарта, которая вместе с его сочинениями Метеоры и Диоптрика появилась в Лейдене в 1637 году вслед, и как бы в виде испытания, за его знаменитым Méthode, на котором основывается современная философия.
   Конечно ни одна философская система не имела при своем появлении такой поддержки, какую давали методу Декарта подобные испытания.
   [Геометрия, Метеоры и Диоптрика в русском переводе А.П. Юшкевича и Г.Г. Слюсарева собраны в русском издании Рассуждения о методе 1953 года.]
2. [Живая сила (устар.) — это удвоенная кинетическая энергия, см., напр., Механику Аппеля, т. 2, n. 336.]
3. Lettres de Descartes, t. IV, p. 215. [См. перев. А.П. Юшкевича, приложенный к Геометрии Декарта 1938 года издания.]
4. [Субтангенс (подкасательная) в обозначениях дифференциального исчисления есть отношение $y:{\tfrac {dy}{dx}}$, поэтому, если понять начало кривой как начало системы координат, речь идет об интегрировании дифференциального уравнения ${\tfrac {dy}{dx}}={\mbox{Const}}.(x-y)$.]
5. Письмо, в котором Декарт излагает Де-Бону свои идеи об этих совершенно нового рода изысканиях, рассматриваемых им как обратные его правилу касательных, есть, по нашему мнению, один из важнейших документов и должно занять почетное место в истории нового исчисления.
6. Tractatus de concinnandis demonstrationibus geometricis ex calculo algebraico. Посмертное издание. — Здесь находим аналитическое доказательство теоремы Птоломея об отрезках секущей на трех сторонах треугольника.
7. Exercitationes geometricae sex. Bononiae, in—4°, 1647. De modo facili describendi sectiones conicas, et in omnibus umiformi. (Exercitatio sexta).