Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов/Поверхности второго порядка/ДО

Пятая эпоха:
Поверхности втораго порядка
авторъ Мишель Шаль, пер. В.Я. Цингеръ

Оригинал: фр. Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en Géométrie particulièrement de celles qui se rapportent à la Géométrie moderne. — Изъ цикла «Историческій обзоръ происхожденія и развитія геометрическихъ методовъ». Перевод созд.: 1829-1835 гг., опубл: 1837, перев. 1870-83 гг. Источникъ: Индекс в Викитеке

Пятая эпоха, n° 46-54.

46. Поверхности втораго порядка. Чтобы заключить обзоръ развитія и успѣховъ новѣйшей геометріи, намъ остается разсмотрѣть еще одну изъ отдѣльныхъ теорій, наиболѣе важную и разработанную, именно теорію поверхностей втораго порядка. Древніе знали изъ поверхностей втораго порядка кажется только конусъ, цилиндръ и поверхности вращенія, которыя они называли сфероидами и коноидами^[1][2]: до Эйлера не усматривалось никакой другой аналогіи между формами въ пространствѣ и столь знаменитыми плоскими кривыми, названными коническими сѣченіями. Этотъ великій геометръ распространилъ на кривыя поверхности аналитическій пріемъ, служившій ему для изслѣдованія кривыхъ линій на плоскости^[3] и открылъ въ общемъ уравненіи второй степени съ тремя обыкновенными координатами пять различныхъ видовъ поверхностей^[4], между которыми сфероиды и коноиды древнихъ являются не болѣе какъ частными формами.

Эйлеръ ограничился только этою классификаціею. Но этого было достаточно, чтобы открыть геометрамъ обширное поле изслѣдованій, представляемыхъ теоріею поверхностей втораго порядка.

Монжъ и его сотоварищъ Гашетъ поняли всю важность этой теоріи и, подвергнувъ поверхности втораго порядка новому, болѣе глубокому и подробному аналитическому изслѣдованію, открыли многія важнѣйшія свойства ихъ. Они показали двойное образованіе поверхностей втораго порядка помощію перемѣщающагося круга, которое было извѣстно со времени Дезарга^[5] для конусовъ втораго порядка и позднѣе было замѣчено только у эллипсоида Д'Аламбертомъ^[6]; въ первый разъ было также обнаружено образованіе движеніемъ прямой линіи гиперболоида съ одною полостью и гиперболическаго параболоида^[7]. Въ примѣчаніи къ трактату о поверхностяхъ втораго порядка доказано въ первый разъ одно изъ самыхъ важныхъ ихъ свойствъ, именно то, что три поверхности съ центромъ, эллипсоидъ и два гиперболоида^[8], имѣютъ всегда систему трехъ взаимно-перпендикулярныхъ сопряженныхъ діаметровъ^[9].

47. Впослѣдствіи ученики Монжа съ успѣхомъ разрабатывали теорію поверхностей втораго порядка и пошли весьма далеко въ изученіи ихъ свойствъ: сначала тѣхъ, которыя касаются каждой поверхности въ отдѣльности и въ соотношеніи ея съ простѣйшими геометрическими формами, т.-е. съ точкою, прямою и плоскостью, a потомъ — тѣхъ, которыя вытекаютъ изъ сравненія двухъ или нѣсколькихъ поверхностей между собою. И въ этихъ болѣе сложныхъ изысканіяхъ первые шаги сдѣланы были Монжемъ. Мы не можемъ входить въ подробности обо всѣхъ этихъ открытіяхъ, какъ они намъ ни кажутся привлекательны. Они такъ тѣсно связаны со всѣми геометрическими изслѣдованіями послѣднихъ тридцати лѣтъ, что намъ пришлось бы входить въ излишнія подробности, которыхъ мы принуждены избѣгать. Чтобы дополнить недосказанное нами, укажемъ на то мѣсто, гдѣ Дюпенъ, разбирая труды Монжа по аналитической геометріи, припоминаетъ заслуги его учениковъ и на введеніе къ Traité des propriétés projectives, гдѣ Понселе весьма подробно и съ похвальною заботливостію указалъ первенство, которое другіе геометры могутъ предъявить по поводу открытія нѣкоторыхъ геометрическихъ истинъ, вытекающихъ естественнымъ образомъ изъ его новаго ученія.

48. Развитіе, къ которому способна теорія поверхностей втораго порядка. Не смотря на важность успѣховъ; достигнутыхъ въ теоріи поверхностей втораго порядка, должно замѣтить, что эти успѣхи составляютъ весьма малую долю тѣхъ, къ которымъ повидимому способна эта теорія. Мы легко поймемъ это, бросивъ взглядъ на важнѣйшія свойства коническихъ сѣченій, которымъ соотвѣтственныя еще далеко не всѣ найдены въ поверхностяхъ втораго порядка. Такія аналогичныя свойства необходимо существуютъ, хотя бы только потому, что они должны давать, какъ слѣдствія, свойства коническихъ сѣченій, когда предположимъ, что поверхность теряетъ одно изъ своихъ измѣреній и обращается въ кривую линію. Но поверхности втораго порядка должны представлять не только всѣ особенности коническихъ сѣченій, но вслѣдствіе своей болѣе полной формы, о трехъ измѣреніяхъ, еще множество другихъ, исчезающихъ съ уничтоженіемъ одного изъ измѣреній; таковы напримѣръ линіи кривизны, которыя были въ первый разъ указаны Монжемъ и въ которыхъ Бине и Дюпенъ открыли потомъ замѣчательныя свойства^[10].

Ограничиваясь только тѣми свойствами поверхностей втораго порядка, которыя можно предвидѣть изъ простой аналогіи ихъ съ коническими сѣченіями, укажемъ напримѣръ на фокусы этихъ кривыхъ, представляющіе источникъ самыхъ красивыхъ и важныхъ ихъ свойствъ. Эти точки находятся также въ трехъ поверхностяхъ вращенія (въ растянутомъ эллипсоидѣ, гиперболоидѣ съ двумя полостями и параболоидѣ) и въ нихъ Дюпенъ открылъ также драгоцѣнныя свойства какъ для теоріи, такъ и для объясненія нѣкоторыхъ физическихъ явленій^[11]. Безъ сомнѣнія это есть указаніе на то, что нѣчто подобное и притомъ болѣе общее должно имѣть мѣсто для всякой поверхности втораго порядка; но мы не знаемъ пытался-ли до сихъ поръ кто-нибудь изслѣдовать этотъ вопросъ.

Убѣжденные въ томъ, что такая теорія, соотвѣтствующая въ поверхностяхъ втораго порядка теоріи фокусовъ коническихъ сѣченій, будетъ новымъ источникомъ свойствъ интересныхъ и чрезвычайно полезныхъ для болѣе совершеннаго познанія этихъ поверхностей, мы избрали ее предметомъ своихъ изысканій. Аналогія между фокусами коническихъ сѣченій и извѣстными прямыми въ конусахъ втораго порядка^[12], проведенная нами довольно далеко, естественнымъ образомъ навела насъ на подобныя же свойства поверхностей, указавъ, что въ нихъ кривыя линіи должны играть роль прямыхъ въ конусѣ и точекъ въ коническихъ сѣченіяхъ. Въ Примѣчаніи XXXI предлагаемъ нѣсколько выводовъ, которые позволяютъ предположить, что мы нашли такую аналогію. Впослѣдствіи мы разчитываемъ издать нашу работу, теперь же сообщаемъ заранѣе первые результаты, выражая при этомъ искреннее желаніе, чтобы положенное нами начало привлекло вниманіе геометровъ и вызвало новыя работы объ этомъ предметѣ.

49. Есть еще другой вопросъ, отъ котораго также зависятъ будущіе успѣхи теоріи поверхностей втораго порядка и важность котораго была оцѣнена Брюссельскою Академіей. Это — аналогія, которая должна существовать между нѣкоторымъ еще неизвѣстнымъ свойствомъ этихъ поверхностей и знаменитою теоремою Паскаля въ коническихъ сѣченіяхъ^[13].

Эта теорема, независимо отъ различныхъ преобразованій, къ которымъ она способна, и понимаемая единственно со стороны свойственныхъ ей формы и изложенія, можетъ быть разсматриваема съ двухъ различныхъ точекъ зрѣнія. На нее можно смотрѣть, какъ на общее и постоянное соотношеніе между шестью произвольными точками коническаго сѣченія, т.-е. числомъ на единицу большимъ того, какое нужно для опредѣленія кривой; или же — какъ на общее свойство коническаго сѣченія относительно треугольника, произвольно помѣщеннаго въ плоскости кривой^[14].

Вслѣдствіе этого въ пространствѣ можно двоякимъ образомъ представлять себѣ аналогію съ теоремой Паскаля.

Съ первой точки зрѣнія это будетъ общее свойство десяти точекъ поверхности втораго порядка, т.-е. числа на единицу большаго, чѣмъ то, которое нужно для опредѣленія поверхности; со второй же точки зрѣнія это будетъ общее свойство, вытекающее изъ сопоставленія поверхности втораго порядка съ тетраэдромъ какъ угодно помѣщеннымъ въ пространствѣ.

Первый вопросъ, который долженъ быть особенно полезенъ для теоріи поверхностей втораго порядка, былъ предложенъ Брюссельскою Академіею въ 1825 году, но остался не рѣшеннымъ. На слѣдующемъ конкурсѣ Академія дала большій просторъ геометрамъ, приглашая просто найти для поверхностей втораго порядка теорему аналогическую теоремѣ Паскаля въ коническихъ сѣченіяхъ; здѣсь заключался и прежній вопросъ, но въ то же время предоставлялась полная свобода во взглядахъ на теорему Паскаля и на ту аналогію, которая въ этомъ отношеніи можетъ существовать между линіями и поверхностями втораго порядка.

Въ этомъ видѣ вопросъ Академіи не представляетъ такихъ трудностей, какъ прежде. Думаемъ, что онъ разрѣшается теоремой, которую мы предлагаемъ въ Примѣчаніи XXXII. Дѣйствительно, эта теорема выражаетъ общее свойство тетраэдра относительно поверхности втораго порядка, аналогичное съ свойствомъ треугольника относительно коническаго сѣченія, выражаемымъ теоремою Паскаля. Но отъ этой теоремы еще далеко до общаго соотношенія между десятью произвольными точками поверхности втораго порядка; изысканіе такого свойства достойно вниманія геометровъ. Нѣтъ сомнѣнія, что мы не имѣемъ еще всѣхъ элементовъ, необходимыхъ для подобнаго изысканія; въ этомъ мы видимъ поводъ изучать свойства поверхностей втораго порядка со всевозможныхъ сторонъ и во всевозможныхъ отношеніяхъ. Нельзя пренебрегать никакою теоріей, никакимъ открытіемъ, какъ бы ни казалось оно на первый взглядъ ничтожно; ибо всякая частная истина, если она и не имѣетъ непосредственнаго примѣненія, имѣетъ значеніе какъ звено въ непрерывной цѣли, связывающей многочисленныя истины этой обширной теоріи; и можетъ быть въ этомъ именно звенѣ лежитъ зародышъ великихъ открытій, изъ которыхъ быстро разовьются методы обобщенія новѣйшей геометріи.

50. Полезнымъ подготовительнымъ трудомъ для полученія соотношенія между десятью точками поверхности было бы полное рѣшеніе во всевозможныхъ случаяхъ задачи о построеніи поверхности втораго порядка, опредѣляемой девятью условіями, именно проходящей черезъ данныя точки и касающейся данныхъ плоскостей. Задача эта и сама по себѣ заслуживаетъ вниманія геометровъ. Однако до сихъ поръ только Ламе занимался однимъ изъ общихъ, представляемыхъ ею, случаевъ: этотъ искусный профессоръ опредѣлилъ элементы, достаточные для построенія поверхности втораго порядка, проходящей черезъ девять данныхъ точекъ^[15]. Но изслѣдованіе общаго рѣшенія и разборъ слѣдствій и частныхъ случаевъ при этомъ встрѣчающихся требуютъ еще новыхъ изысканій.

Прежде чѣмъ серьезно приниматься за вопросъ о десяти точкахъ поверхности втораго порядка, можетъ быть было бы также полезно изслѣдовать общее соотношеніе между девятью точками кривой двоякой кривизны четвертаго порядка, представляющей пересѣченіе двухъ поверхностей втораго порядка. Такая кривая опредѣляется въ пространствѣ восемью точками и, слѣдовательно, между этими точками и девятою должно существовать постоянное соотношеніе, выражающее, что эта девятая точка лежитъ на кривой, опредѣляемой восемью первыми точками.

Но еще ранѣе представляется вопросъ о соотношеніи между семью точками кривой двоякой кривизны третьяго порядка, представляющей пересѣченіе двухъ гиперболоидовъ съ одною полостью, имѣющихъ общую образующую, — кривой, которая опредѣляется въ пространствѣ шестью произвольными точками. Этотъ вопросъ не представляетъ такихъ трудностей, какъ вышеуказанные, и кажется вполнѣ разрѣшенъ нами (См. Примѣчаніе XXXIII).

Можетъ быть, наконецъ, за основу и образецъ сравненія слѣдуетъ принимать не теорему Паскаля, но сдѣлать такія же попытки съ другими теоремами, выражающими подобно ей свойство шести точекъ коническаго сѣченія и представляющими ея слѣдствія или видоизмѣненія, какъ это показано въ Примѣчаніи XV. Мы предполагали, что одна изъ этихъ теоремъ, представляющая какъ бы особое выраженіе ангармоническаго свойства точекъ коническаго сѣченія (Прим. XV, n° 21), можетъ, при посредствѣ трехъ трансверсалей, произвольно проведенныхъ въ пространствѣ, повести къ искомому соотношенію между десятью точками поверхности втораго порядка. Наши первыя усилія оказались безплодны; но мы еще сохраняемъ нѣкоторую надежду на эту теорему и желали бы встрѣтить попытки извлечь изъ нея, что можно.

51. Кривыя двоякой кривизны третьяго и чѣтвертаго порядка. Кривыя двоякой кривизны четвертаго и третьяго порядка, которыя естественнымъ образомъ встрѣчаются въ важномъ вопросѣ о десяти точкахъ поверхности втораго порядка, заслуживаютъ и по другимъ причинамъ изученія со стороны геометровъ. Сами эти кривыя, подобно поверхностямъ втораго порядка, могутъ представлять въ пространствѣ различныя аналогіи съ коническими сѣченіями и есть множество вопросовъ, въ которыхъ они встрѣтятся, если, не ограничиваясь въ геометрическихъ изслѣдованіяхъ одними коническими сѣченіями, мы перейдемъ къ болѣе труднымъ вопросамъ, разрѣшаемымъ при помощи совокупности нѣсколькихъ поверхностей втораго порядка.

Кривыя, о которыхъ мы теперь говоримъ, изучены еще очень мало; мы знаемъ немногія общія свойства только кривыхъ четвертаго порядка, доказанныя Гашеттомъ, Понселе и Кетле. Гашеттъ разсматривалъ эти кривыя, какъ пересѣченіе двухъ конусовъ втораго порядка и изслѣдовалъ формы тѣхъ плоскихъ кривыхъ четвертой степени, которыя изъ нихъ получаются въ проложеніи или перспективѣ^[16].

Понселе, въ Traité des propriétés projectives (n° 616), доказалъ, что черезъ кривую четвертаго порядка, происходящую отъ пересѣченія двухъ поверхностей второй степени, можно вообще провести четыре конуса втораго порядка.

Наконецъ, Кетле показалъ, что, пролагая на плоскость кривую пересѣченія двухъ извѣстнымъ образомъ опредѣленныхъ поверхностей втораго порядка, можно получить всѣ плоскія кривыя третьяго порядка^[17]. Эта теорема, полезная для полученія свойствъ плоскихъ кривыхъ третьяго порядка при помощи извѣстныхъ свойствъ кривыхъ двоякой кривизны четвертаго порядка и обратно^[18], можетъ быть представлена въ болѣе общемъ видѣ, причемъ ея примѣненія часто становятся болѣе удобными и обширными. Теорема эта можетъ быть высказана такъ: кривая пересѣченія двухъ поверхностей втораго порядка даетъ въ перспективномъ проложеніи на плоскость изъ точки зрѣнія, помѣщенной на самой кривой, — всѣ кривыя третьяго порядка.

52. Прекрасное предложеніе Кетле вызвало предположеніе, что проэкція, или вообще перспектива, линіи пересѣченія двухъ поверхностей втораго порядка можетъ дать всѣ плоскія кривыя четвертаго порядка и что для этого достаточно помѣстить точку зрѣнія внѣ этой линіи. Но мы можемъ, кажется, отвѣчать на этотъ вопросъ отрицательно и выразить въ слѣдующей теоремѣ особенность кривыхъ четвертаго порядка, получаемыхъ отъ перспективнаго проложенія линіи пересѣченія двухъ поверхностей втораго порядка: такая кривая имѣетъ всегда (и вообще, если исключимъ частныя видоизмѣненія) двѣ двойныя или сопряженныя точки, которыя могутъ быть и мнимыми.

Эта теорема заслуживаетъ нѣкотораго вниманія, потому что изъ нея вытекаютъ новыя слѣдствія, находящіяся въ близкомъ отношеніи къ вопросамъ, занимающимъ геометровъ въ послѣднее время.

Изъ нея прежде всего заключаемъ, что кривая четвертаго порядка, происходящая отъ перспективы пересѣченія двухъ поверхностей втораго порядка, допускаетъ не болѣе восьми касательныхъ, проходящихъ черезъ одну произвольно взятую точку плоскости, тогда какъ въ общей кривой четвертаго порядка черезъ одну точку могутъ проходить двѣнадцать касательныхъ.

Изъ нея же слѣдуетъ, что развертывающаяся поверхность, описанная около двухъ поверхностей втораго порядка, будетъ не выше восьмаго порядка. Порядокъ такой поверхности въ точности еще не указанъ; Понселе замѣтилъ только что онъ не превосходитъ числа двѣнадцать^[19].

Приложенія теоремы, о которой мы говоримъ, могутъ быть очень многочислены, потому что часто встрѣчаются такія кривыя линіи, которыя могутъ происходить отъ перспективы или проэкціи пересѣченія двухъ поверхностей втораго порядка^[20].

53. Имѣя въ виду говорить о кривыхъ двойкой кривизны третьяго и четвертаго порядка, мы начали со вторыхъ, потому что до сихъ поръ только ими, кажется, и занимались.

Между тѣмъ кривыя третьяго порядка болѣе просты и болѣе доступны для изученія. Мы нашли, что они обладаютъ многими интересными свойствами и представляются въ очень многихъ вопросахъ. Здѣсь мы не можемъ излагать этотъ предметъ во всемъ подробнымъ развитіи, какое онъ допускаетъ.

Ограничимся замѣчаніемъ, что перспектива кривыхъ линій двоякой кривизны третьяго порядка не даетъ всѣхъ плоскихъ кривыхъ третьей степени, но только тѣхъ, которыя имѣютъ двойную, или сопряженную, или возвратную точку.

54. Польза теоріи поверхностей втораго порядка. Не будемъ болѣе распространяться о теоріи поверхностей втораго порядка и линій двоякой кривизны, происходящихъ отъ ихъ пересѣченія. Изъ сказаннаго нами достаточно видно, къ какому развитію способны эти ученія и какое обширное поле для изслѣдованій еще представляютъ они для геометровъ. Эти изслѣдованія мы считаемъ необходимыми для того, чтобы упрочено было дальнѣйшее развитіе геометріи и наукъ, порождаемыхъ примѣненіемъ геометріи къ физикѣ.

Въ самомъ дѣлѣ, геометрія, какъ и всѣ другія положительныя знанія, подчинена условію, понуждающему умъ человѣческій твердо идти впередъ не иначе, какъ постепенно, и непремѣнно отъ простаго къ сложному; и, подобно тому, какъ коническія сѣченія, простѣйшія кривыя въ геометріи на плоскости, слѣдовало изучить подробно и глубоко, прежде чѣмъ переходить къ высшимъ задачамъ, такъ и въ геометріи трехъ измѣреній поверхности втораго порядка являются простѣйшими формами, изученіе которыхъ есть необходимое средство для дальнѣйшаго движенія въ познаніи свойствъ пространства.

Что касается наукъ о явленіяхъ природы, то поверхности втораго порядка несомнѣнно должны встрѣчаться здѣсь во множествѣ вопросовъ и играть такую же важную роль, какъ въ планетной системѣ — коническія сѣченія. Въ наиболѣе ученыхъ физико-математическихъ изысканіяхъ анализъ уже обнаружилъ значеніе этихъ поверхностей; но на это столь благопріятное обстоятельство смотрятъ большею частію, какъ на случайное и второстепенное, не допуская, что оно можетъ быть стоитъ въ прямой зависимости отъ первоначальной причины явленія и представляетъ дѣйствительное, a не случайное, основаніе всѣхъ обстоятельствъ явленія.

Теперь, — когда чистая геометрія въ себѣ самой содержитъ средства для вывода раціональнымъ путемъ, безъ пособія трудныхъ вычисленій и преобразованій анализа, многочисленныхъ свойствъ поверхностей втораго порядка и для рѣшенія относящихся сюда вопросовъ — естественно думать, что и въ общихъ явленіяхъ изъ области физики, гдѣ эти поверхности должны играть весьма важную роль, можно будетъ достигать изъясненія и даже полной теоріи явленій путемъ прямаго разсужденія при помощи чистой геометріи, основываясь единственно на свойствахъ и общихъ законахъ явленія. Другими словами, можно думать, что приложеніе геометріи къ физическимъ явленіямъ — эта наука Кеплера, Гюйгенса, Ньютона, Маклорена, Стеварта, Ламберта, — пріобрѣтетъ въ усовершенствованной теоріи поверхностей втораго порядка полезное и плодотворное ученіе, которое дастъ ей новую силу послѣ почти вѣковой остановки. Мы не сомнѣваемся, что такой путь, всегда прямой и естественный, столь удовлетворяющій нашему уму, будетъ могущественно содѣйствовать наукѣ, освящая ей путь и умножая открытія во всѣхъ областяхъ натуральной философіи. ^[21]

Примѣчанія.

1. За исключеніемъ гиперболоида вращенія съ одною полостью, котораго древніе не разсматривали.
2. Ср. прим. къ гл. I, n° 8: «Архимедъ называетъ сфероидами тѣла, происходящія отъ обращенія эллипса около большой или малой оси, а коноидами — тѣла, образуемыя вращеніемъ около оси параболы и гиперболы.» — Ред.
3. Introductio in analysin infinitorum, in—4°, 1748: Appendix, cap. V. [Имѣется русск. пер.: Введение в анализ бесконечных. Т. 2. М.: ГИФМЛ, 1961.]
4. Эйлеръ разсматривалъ параболическій цилиндръ какъ шестой родъ поверхностей втораго порядка; впослѣдствіи эту поверхность, также какъ цилиндръ съ эллиптическимъ и гиперболическимъ основаніемъ, стали разсматривать какъ разновидности пяти главныхъ родовъ.
5. Мы упомянули, говоря о Дезаргѣ, что этотъ геометръ предложилъ вопросъ о сѣченіи конуса втораго порядка по кругу; вопросъ этотъ былъ рѣшенъ имъ и Декартомъ.
6. Opuscules mathématiques, t. VII, p. 163.
7. Честь этого открытія, одного изъ важнѣйшихъ въ теоріи поверхностей втораго порядка, умножившаго ея приложенія къ начертательной геометріи и къ искуствамъ, принадлежитъ первымъ лучшимъ ученикамъ (aux élèves chefs de brigade) политехнической школы (См. Journal de l'école polytechnique, t. I, p. 5).
   Указываемое свойство гиперболоида долгое время доказывалось только путемъ анализа. Бывши ученикомъ политехнической школы, я нашелъ чисто геометрическое доказательство, которое перешло въ преподаваніе въ школѣ и помѣщалось во многихъ сочиненіяхъ (См. Traité de Géométrie descriptive de Vallée, p. 86 и Leroy, p. 267).
   Доказательство это основывается на слѣдующей теоремѣ: Если прямая перемѣщается, пересѣкая противоположныя стороны $AB$, $CD$ косаго четыреугольника $ABCD$ въ такихъ точкахъ $m,n$, что

   ${\frac {mA}{mB}}=a{\frac {nD}{nC}}$,

   гдѣ $a$ постоянное, то она огибаетъ гиперболоидъ съ одною полостью.
   Это потому, что она будетъ опираться во всѣхъ своихъ положеніяхъ на всякую другую прямую, пересѣкающуюся съ двумя другими противоположными сторонами четыреугольника, въ двухъ точкахъ $p,q$, для которыхъ будетъ

   ${\frac {qA}{qD}}=a{\frac {pB}{pC}}$

   (См. Correspondance polytechnique, t. II, p. 446).
   Доказательство этой теоремы очень просто и требуетъ только знанія Птоломеевой теоремы о треугольникѣ, пересѣченномъ трансверсалью (Correspondance polytechnique, t. III, p. 6). Впослѣдствіи теорія ангармоническаго отношенія представила намъ другое, еще болѣе простое и элементарное доказательство, основывающееся только на понятіи объ ангармоннческомъ отношеніи (См. Примѣчаніе IX).
   Эта теорема прилагается также къ образованію коническихъ сѣченій и выражаетъ прекрасное общее свойство этихъ кривыхъ (См. Correspondance mathématique de Quetelet, t. IV, p. 363).
   Сказавъ, что двоякое образованіе гиперболоида съ одною полостью получило начало въ политехнической школѣ, мы разумѣемъ только гиперболоидъ съ неравными осями и должны прибавить, что двоякое образованіе помощію прямой линіи гиперболоида вращенія съ одною полостью было уже извѣстно, хотя можетъ быть забыто; оно было открыто уже очень давно и рѣдко воспроизводилось. По нашему мнѣнію оно было сдѣлано Вреномъ, который помѣстилъ объ этомъ въ Philosophical Transactions (1669, p. 961) весьма короткую замѣтку подъ заглавіемъ: Generatio corporis cylindroidis hyperbolici, elaborandis lentibus hypcrbolicis accomodati. Вренъ указываетъ на примѣненіе, которое можно сдѣлать изъ такого образованія посредствомъ прямой, къ выдѣлкѣ гиперболическихъ стеколъ.
   Въ 1698 году Паранъ также нашелъ это свойство гиперболоида вращенія и доказалъ его аналитически и посредствомъ простыхъ геометрическихъ соображеній въ двухъ различныхъ мемуарахъ (Essais et recherches de mathématique et de physique, t. II, p. 645 et t. III, p. 570). Этого свойства не имѣютъ другія поверхности, происходящія отъ обращенія коническаго сѣченія около главной оси, и Паранъ называетъ гиперболоидъ съ одною полостію самою полною изъ этихъ поверхностей, потому что на немъ имѣютъ мѣсто сѣченія шести различныхъ видовъ, именно: двѣ параллельныя прямыя, двѣ линіи пересѣкающіяся, кругъ, парабола, эллипсъ и гипербола. Паранъ называетъ эту поверхность, также какъ Вренъ, гиперболическимъ цилиндроидомъ и также пользуется образованіемъ посредствомъ прямой линіи для выдѣлки на токарномъ станѣ гиперболическихъ стеколъ, пригодныхъ въ діоптрикѣ.
   Sauveur доказалъ также это свойство гиперболоида вращенія и еще нѣсколько другихъ предложеній о объемахъ и поверхностяхъ коноидовъ; содержаніе предложеній было ему указано Параномъ (Essais et recherches de mathématiques et de physique, t. III, p. 526)
8. Конусъ втораго порядка мы разсматриваемъ какъ частный случай гиперболоидовъ, подобно тому какъ въ геометріи на плоскости двѣ пересѣкающіяся прямыя разсматриваются какъ частная или предѣльная форма гиперболы. Поэтому мы и не помѣстили конуса въ числѣ главныхъ поверхностей съ центромъ.
9. См. 11-ю тетрадь Journal de l'école polytechnique, p. 107.
10. Дюпену удалось, кромѣ другихъ прекрасныхъ результатовъ получить путемъ чисто-геометрическихъ соображеній механическое черченіе диній кривизны поверхностей втораго порядка. (Journal de l'école polytechnique, 14-e cahier).
11. Applications de Géométrie, in—4°, 1818.
12. Mémoire de Géométrie, sur les cônes du second degré.
13. То, что мы говоромъ о теоремѣ Паскаля, относится также и къ теоремѣ Бріаншона, которая въ теоріи коническихъ сѣченій играетъ точно такую же роль.
14. Такой треугольникъ образуется напримѣръ сторонами нечетнаго порядка въ треугольникѣ Паскалевой теоремы и тогда теорема эта выражаетъ, что три хорды коническаго сѣченія, опредѣляемыя тремя углами треугольника, встрѣчаютъ соотвѣтственно три противоположныя стороны въ трехъ точкахъ, лежащихъ на одной прямой.
15. Examen des différents méthodes employées pour résoudre les problèmes de Géométrie, in—8°, 1818.
16. Correspondance sur l'école polytechnique, t. I, p. 368.
17. Correspondance mathématique de Bruxelles, t. V, p. 195.
18. Изъ того напримѣръ, что плоская кривая третьяго порядка имѣетъ вообще три точки перегиба, лежащія на одной прямой, заключаемъ: 1° что черезъ любую точку кривой двоякой кривизны четвертаго порядка можно вообще провести три плоскости, прикасающіяся къ этой кривой въ трехъ другихъ точкахъ и 2° что три послѣднія точки лежатъ въ одной плоскости съ тою, черезъ которую были проводимы три плоскости.
19. Mémoire sur la théorie générale des polaires réciproques, n° 103. Crelle's Journal, t. IV.
20. Такъ напримѣръ, овалы Декарта, или апланетическія линіи, суть стереографическія проэкціи линіи пересѣченія сферы съ конусомъ вращенія (теорема Кетле, см. Прим. XXI). Отсюда заключаемъ, что эти знаменитые овалы всегда имѣютъ двѣ сопряженныя мнимыя точки въ безконечности. Можетъ быть другимъ путемъ этого и нельзя бы было обнаружить, потому что до сихъ поръ при изысканіи особыхъ точекъ не обращалось вниманія на мнимыя рѣшенія, также какъ и на точки безконечно удаленныя, которыя часто ускользаютъ отъ анализа. Тѣ и другія однако принадлежатъ къ особенностямъ кривыхъ линій и должны играть важную роль въ ихъ теоріи.
    Точно также лемнискаты, образуемыя основаніями перпендикуляровъ, опускаемыхъ изъ неподвижной точки на касательныя коническаго сѣченія, суть стереографическія проэкціи пересѣченія сферы съ конусомъ втораго порядка (теорема Данделена, см. Nouveau mémoires de l'Académie de Bruxelles, t. 4); изъ этого слѣдуетъ, что эти кривыя имѣютъ двѣ сопряженныя мнимыя точки въ безконечности. Извѣстно, что онѣ кромѣ того имѣютъ всегда третью, всегда дѣйствительную двойную, или сопряженную точку, именно — точку, изъ которой опускаются перпендикуляры на касательныя, и что кривыя эти допускаютъ не болѣе шести касательныхъ изъ одной точки. Къ этому заключенію я былъ приведенъ также и другими соображеніями, не выходящими изъ области плоской геометріи.
    Многія другія кривыя четвертаго порядка имѣютъ также сопряженныя мнимыя точки въ безконечности; таковы спирическія линіи, т.-е. плоскія сѣченія кольцеобразной поверхности, кассиноида и другія.
21. Только что вышедшій мемуаръ Пуансо о вращательномъ движеніи тѣлъ представляетъ разительный примѣръ удобства и выгодъ геометрическаго метода, о которомъ мы говоримъ. Трудный вопросъ, стоившій впродолженіе цѣлаго вѣка столькихъ усилій самымъ знаменитымъ аналистамъ, изслѣдованъ здѣсь съ такою удивительною ясностію и простотою, что ими лучше всего можетъ быть уничтоженъ предразсудокъ, въ силу котораго за геометріей признается только древность происхожденія, a не характеръ ея заслугъ и ея научнаго назначенія, — отрицается ея способность къ развитію, причемъ геометрію уподобляютъ мертвому языку, безполезному и неспособному болѣе служить потребностямъ человѣческаго ума. Этому ошибочному взгляду, который можетъ только препятствовать прогрессу науки, мы позволимъ себѣ противопоставить слѣдующее мнѣніе знаменитаго автора Mécanique analytique, высказанное шестьдесятъ лѣтъ тому назадъ по поводу великихъ задачъ системы міра, — задачъ, въ которыхъ геометрія опередила анализъ: «Какія бы преимущества не представлялъ алгебраическій анализъ передъ геометрическими пріемами древнихъ, обыкновенно называемыми, хотя весьма не соотвѣтственно съ сущностью дѣла синтезомъ, тѣмъ не менѣе существуютъ задачи, въ которыхъ эти пріемы предпочтительны какъ по особой ясности, такъ и по простотѣ и изяществу доставляемыхъ ими рѣшеній. Есть даже такіе вопросы, въ которыхъ алгебраическій анализъ кажется совсѣмъ недостаточнымъ и рѣшеніе которыхъ повидимому можетъ быть достигнуто только синтетическимъ путемъ», (Sur l’attraction des sphéroïdes elliptiques. Nouveaux Mémoires de l’Académie de Berlin, 1773).