Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов/Ферма/ДО

Вторая эпоха: Ферматъ.
авторъ Мишель Шаль, пер. В.Я. Цингеръ

Оригинал: фр. Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en Géométrie particulièrement de celles qui se rapportent à la Géométrie moderne. — Изъ цикла «Историческій обзоръ происхожденія и развитія геометрическихъ методовъ». Перевод созд.: 1829-1835 гг., опубл: 1837, перев. 1870-83 гг. Источникъ: Индекс в Викитеке

Вторая эпоха: Ферматъ.

10. Ферматъ (1590—1663). Способъ Фермата для проведенія касательныхъ основанъ на одинаковыхъ началахъ съ его прекраснымъ методомъ De maximis et minimis, въ которомъ имъ первымъ введена безконечность въ вычисленіе, подобно тому какъ Кеплеръ ввелъ ее въ чистую геометрію. По этой причинѣ Ферматъ считается первымъ изобрѣтателемъ исчисленія безконечно малыхъ.

Слѣдующее мѣсто, взятое изъ Calcul de fonctions знаменитаго Лагранжа, показываетъ ясно и точно идею и механизмъ способовъ Фермата и связь ихъ съ новѣйшими пріемами исчисленія.

Въ своемъ методѣ De maximis et minimis Ферматъ полагаетъ выраженіе количества, для котораго ищется maximum, или mininum, равнымъ выраженію того же количества, но въ которомъ неизвѣстное увеличено на неопредѣленную величину. Въ этомъ уравненіи онъ уничтожаетъ радикалы и дроби, если они тамъ находятся, и, сокративъ общіе члены въ обѣихъ частяхъ, дѣлитъ всѣ остальные члены на неопредѣленную величину, которая входитъ общимъ множителемъ; послѣ этого онъ полагаетъ неопредѣленную величину равною нулю и получаетъ такимъ образомъ уравненіе для опредѣленія неизвѣстной. Но съ перваго взгляда видно, что тотъ же результатъ получается по правилу дифференціальнаго исчисленія, которое заключается въ томъ, что дифференціалъ выраженія, для котораго ищется maximum, или minimum, относительно перемѣннаго, приравнивается нулю; основаніе въ обоихъ случаяхъ одно и тоже: члены, исчезающіе какъ безконечно малые въ дифференціальномъ исчисленіи, приравниваются нулю въ способѣ Фермата. Его способъ касательныхъ проистекаетъ изъ того же начала. Въ уравненіи между абсциссой и ординатой, которое онъ называетъ отличительнымъ свойствомъ кривой, онъ увеличиваетъ, или уменьшаетъ, абсциссу на неопредѣленное количество и разсматриваетъ новую ординату какъ общую для кривой и для касательной; отсюда получается уравненіе, которое онъ изслѣдуетъ такъ же, какъ въ случаѣ maximum и minimum. Здѣсь опять видно сходство способа Фермата съ дифференціальнымъ исчисленіемъ: неопредѣленное количество, придаваемое къ абсциссѣ, соотвѣтствуетъ ея дифференціалу, а получающееся при этомъ приращеніе ординаты — дифференціалу ординаты. Весьма замѣчательно, что въ сочиненіи, заключающемъ въ себѣ открытіе дифференціальнаго исчисленія и напечатанномъ въ Лейпцигскихъ Актахъ за октябрь 1684 г. подъ заглавіемъ: Nova methodus pro maximis et minimis etc., Лейбницъ называетъ дифференціаломъ ординаты линію, относящуюся къ произвольному приращенію абсциссы, какъ ордината относится къ субтангенсу; это сближаетъ его анализъ съ способомъ Фермата.^[1]

Мнѣніе Лагранжа о долѣ, принадлежащей Фермату въ изобрѣтеніи новыхъ исчисленій, было также мнѣніемъ его знаменитыхъ современниковъ Лапласа и Фурье. Еще въ то время, когда никто не думалъ отстаивать въ пользу Фермата принадлежащую ему по справедливости славу, оно было высказано Даламбертомъ^[2], который съ такою глубиною и проницательностію писалъ о метафизикѣ геометріи, и даже еще Бюффономъ, переводчикомъ Теоріи флюксий и восторженнымъ почитателемъ великаго Ньютона^[3].

11. Ферматъ, вмѣстѣ съ Паскалемъ, былъ изобрѣтателемъ исчисленія вѣроятностей, одного изъ лучшихъ произведеній XVII вѣка.

Ему не было равнаго въ теоріи чиселъ: онъ владѣлъ безъ сомнѣнія какимъ-нибудь простымъ способомъ, который намъ еще неизвѣстенъ, несмотря на значительные усоѣхи неопредѣленнаго анализа; потомучто прекрасныя теоремы его, оставленныя намъ безъ доказательствъ, занимали собою потомъ самыхъ лучшихъ геометровъ и были доказаны только мало по малу, съ большимъ трудомъ и посредствомъ различныхъ пріемовъ.

Хотя Ферматъ съ особою любовію занимался преимущественно числовыми изысканіями, однако и геометрія обязана ему также прекрасными открытіями.

По образцу Архимеда, который нашелъ квадратуру параболы, Ферматъ опредѣлилъ площади параболъ всѣхъ порядковъ; сверхъ того онъ нашелъ объемы и центры тяжести параболоидовъ и другихъ тѣлъ; открылъ также свойства спирали, отличающейся отъ спирали Архимеда. Онъ пошелъ даже дальше главы геометровъ древности, разрѣшивъ посредствомъ чисто геометрическаго способа, сходнаго съ способомъ истощенія, задачу, которой у Архимеда нѣтъ и слѣда и которую Декартъ считалъ выше силъ человѣческаго ума, именно задачу о полномъ распрямленіи кубической параболы и нѣкоторыхъ другихъ кривыхъ (De linearum curvarum cum lineis rectis comparatione. Oeuvres de Fermat, p. 89), но такъ какъ его сочиненіе появилось только въ 1660 году, то въ этомъ важномъ открытіи распрямленія кривыхъ линій Ферматъ былъ предупрежденъ Нейлемъ и Фанъ-Геретомъ.

Возможность для рѣшенія большинства изъ этихъ важныхъ вопросовъ доставлена была Фермату его способомъ De maximis et minimis. Однимъ изъ лучшихъ приложеній этого способа было приложеніе къ явленіямъ преломленія свѣта, возбудившее знаменитый споръ между нимъ и Декартомъ. Рѣшеніе Фермата оказалось подтвержденіемъ правила, найденнаго его славнымъ соперникомъ, правила, которое онъ до тѣхъ поръ оспаривалъ. Это рѣшеніе такъ изящно, что Фермату слѣдуетъ приписать вмѣстѣ съ Декартомъ честь расширенія предѣловъ геометріи примѣненіемъ ея къ изученію явленій природы.

12. Ферматъ занимался также другимъ отдѣломъ геометріи, относящимся къ геомегрическому анализу древнихъ и названнымъ нами геометріею Аполлонія.

Онъ возстановилъ по указаніямъ, оставленнымъ Паппомъ, плоскія мѣста Аполлонія. Въ письмѣ къ Робервалю Ферматъ заявилъ, что имъ найдоно еще много другихъ прекраснихъ и достойныхъ вниманія предложеній; но напечатаны были и сдѣлались извѣстны намъ только двѣ книги Аполлонія.

Онъ показалъ средство находить плоскія и тѣлесныя мѣста помощію общаго аналитическаго пріема и научилъ пользоваться этимъ пріемомъ для построенія задачъ посредствомъ геометрическихъ мѣстъ. Этотъ пріемъ состоялъ въ употребленіи координатъ Декарта, которыя были придуманы Ферматомъ прежде, нежели знаменитый философъ издалъ свою геометрію.

Впослѣдствіи Ферматъ распространилъ этотъ пріемъ и примѣнилъ его къ рѣшенію труднаго вопроса объ общемъ построеніи геометрическихъ задачъ помощію простѣйшихъ кривыхъ. При этихъ изысканіяхъ о степени кривыхъ, необходимыхъ для построенія какого-нибудь уравненія, онъ пришелъ къ общему выводу, доказательство котораго далъ впослѣдствіи въ Лейпцигскихъ Актахъ 1688 года Яковъ Бернулли, упрекавшій геометрію Декарта за опущеніе этого общаго вывода, состоящаго въ томъ, что всегда достаточно, чтобы произведеніе порядковъ употребляемыхъ кривыхъ линій было не меньше степени уравненія^[4].

13. Въ своемъ сочиненіи De contactibus sphaericis Ферматъ первый разрѣшилъ вполнѣ задачи о прикосновеніи шаровъ, подобно тому, какъ это сдѣлалъ Вьетъ для прикосновенія круговъ въ Apollonius Gallus.

Вопросъ этотъ былъ предложенъ ему Декартомъ, который въ своихъ письмахъ говоритъ, что разрѣшилъ его посредствомъ прямой линіи и круга; но рѣшеніе это до насъ не дошло.

Сочиненіе Фермата отличается полнотою и написано въ хорошемъ чисто-геометрическомъ стилѣ. Но надобно замѣтить, что въ послѣднее время изложеніе этого предмета стало гораздо лучше^[5], и вотъ именно въ какихъ отношеніяхъ. Въ сочиненіи Фермата кромѣ главной задачи о шарѣ касающемся четырехъ другихъ, заключается еще четырнадцать другихъ задачъ, которыя въ сущности представляютъ частные случаи главной; но ихъ необходимо разрѣшить предварительно, одну за другой, чтобы этимъ послѣдовательнымъ путемъ дойти наконецъ до рѣшенія конечной задачи, которое хотя изящно и очень просто, но не включаетъ въ себѣ всѣхъ частныхъ случаевъ вопроса, а напротивъ само приводится къ одному изъ такихъ случаевъ. Современная геометрія поступаетъ не такъ: она сразу даетъ рѣшеніе общей задачи и въ этомъ рѣшеніи заключаются всѣ частные случаи, черезъ которые Ферматъ долженъ былъ перейти. Легко понять, какъ много выгодъ въ такой общности понятій и пріемовъ и нельзя не видѣть въ этомъ истиннаго успѣха для науки. Позволимъ себѣ прибавить, что этому вопросу можно придать еще иного рода обобщеніе, именно разсматривать вмѣсто четырехъ шаровъ четыре поверхности втораго порядка, подобныя между собою, или даже вообще четыре какія нибудь поверхности втораго порядка, лишь бы онѣ были вписаны всѣ въ одну поверхность того же порядка. Въ этомъ видѣ задача включаетъ въ себѣ, какъ частный случай, задачу о четырехъ шарахъ (См. Примѣчаніе ХХVIII).

Это сравненіе рѣшенія Фермата съ новѣйшими не будетъ, можеть-быть, сочтено здѣсь неумѣстнымъ, такъ какъ оно указываетъ на характеръ успѣховъ, сдѣланныхъ геометріею, и на то направленіе, по которому она должна стремиться даже въ такихъ вопросахъ, гдѣ мы слишкомъ часто ограничиваемся удивленіемъ къ трудамъ великихъ геометровъ, какъ бы не смѣя даже предполагать, чтобы усовершенствованія въ наукѣ могли ихъ коснуться.

14. Ферматъ обѣщалъ и началъ возстановленіе поризмъ Евклида; этому слову онъ придавалъ иной смыслъ, нежели какой принятъ былъ впослѣдствіи всѣми на основаніи истолкованія Р. Симсона. Но если знаменитый шотландскій геометръ разгадалъ и возстановилъ форму изложенія поризмъ, то Ферматъ не менѣе его проникъ можетъ-быть въ эту тайну, угадавъ цѣль, назначеніе и ту пользу, которую Евклидъ признавалъ за своимъ сочиненіемъ о поризмахъ. Но Ферматъ выражается объ этомъ предметѣ такъ кратко, что, можетъ-быть, нужно было a priori опредѣлить идеи и цѣли, которыя мы усматриваемъ, какъ намъ кажется, въ его воззрѣніи на поризмы; поэтому мы оставляемъ до другаго времени болѣе подробное сужденіе объ этомъ.

Пять предложеній, оставленныхъ Ферматомъ какъ примѣры, или какъ specimen поризмъ, заставляютъ жалѣть, что онъ не продолжалъ этого труда. Особенно третья изъ этихъ поризмъ должна заслуживать полнаго вниманія геометровъ, такъ какъ это одна изъ прекраснѣйишхъ и наиболѣе полезныхъ теоремъ въ теоріи коническихъ сѣченій. Она есть ничто иное какъ знаменитая теорема Дезарга о инволюціи шести точекъ, — теорема столь хорошо извѣстная въ новой геометріи. Другая поризма, которую Ферматъ предложилъ для дозазательства Валлису, есть частный случай общей теоремы въ примѣненіи къ параболѣ^[6].

Ферматъ обѣщалъ не только возстановленіе трехъ книгъ поризмъ Евклида: онъ имѣлъ въ виду распространить это ученіе далѣе предѣловъ, установленныхъ греческимъ геометромъ, и приложить его къ коническимъ сѣченіямъ и кривымъ другаго рода. Онъ говоритъ, что открылъ вещи неизвѣстныя и замѣчательныя^[7].

Мы далеки отъ того, чтобы считать, какъ Р. Симсонъ, такое обѣщаніе слишкомъ смѣлымъ; мы видимъ въ этомъ только признакъ того, что Ферматъ разгадалъ истинный смыслъ ученія Евклида и умѣлъ понять всю важность и пользу его.

Прибавленіе. Ферматъ писалъ также о мѣстахъ на поверхности. Мерсеннъ говоритъ объ этомъ слѣдующимъ образомъ: Omitto locos ad superficiem, cujus isagogem vir idem Cl. (Fermatius) amicis commuvem fecit, et alia quae utinam ab eo tantum inpetremus (См. Universae Geometriae mixtaeque mathemalicae synopsis; in— 4, 1644, p. 388).

Примѣчанія.

1. Пуассонъ высказался не столь рѣшительно, какъ Лагранжъ, по поводу этого важнаго вопроса. Безпристрастіе, съ которымъ мы обязаны относиться кь этому обстоятельству въ исторіи науки, гдѣ рѣчь идетъ о томъ, чтобы приписать Фермату открытіе, распространившее столько славы на Англію и Германію, заставляетъ насъ привести слова Пуассона, которыя притомъ знакомятъ самымъ яснымъ образомъ съ идеей способа Фермата и точно указываютъ оттѣнокъ, отличающій этотъ способъ отъ изобрѣтенія Лейбница. Фермату принадлежить философская идея, Лейбницу необходимое орудіе, чтобы ею пользоваться.

   «Съ приближеніемъ къ maximum или minimum количество измѣняется все менѣе и менѣе и дифференціалъ его исчезаетъ, когда оно достигаетъ одной изъ этихъ крайнихъ величинъ. Исходя изъ этого начала, Ферматъ напалъ на счастливую мысль давать безконечно малое приращеніе перемѣнному, отъ котораго зависитъ изслѣдуемая величина, и для нахожденія maximum или minimum приравнять нулю соотвѣтственное приращеніе этой величнны, приведенное предварительно къ одинаковому порядку съ приращеніемъ перемѣннаго. Этимъ способомъ онъ опредѣлилъ, по какому пути долженъ идти лучъ свѣта при переходѣ изъ одной среды въ другую, предполагая, согласно съ принятой имъ теоріей, что время перехода должнобыть наименьшее. Лагранжъ по этой причинѣ признаетъ его первымъ изобрѣтателемъ дифференціальнаго исчисленія; но это исчисленіе состоитъ изъ цѣлой совокупности правилъ, непосредсѵвенно ведущихъ къ дифференціаламъ всѣхъ возможныхъ фѵнкцій, а не только въ употребленіи безконечно-малыхъ измѣненій для рѣшенія той или другой задачи; въ этомъ отношеніи изобрѣтеніе дифференціальнаго исчисленія не восходитъ далѣе Лейбница, изобрѣтателя того символическаго обозначенія, которое съ самаго начала было принято почти всюду и способствовало главнымъ образомъ успѣхамъ анализа безконечно-малыхъ.» (Mémoire sur le calcul des variations, par Poisson, lu á l'Académie le 10 novembre 1831, inséré dans le t. XII des Mémoires de l'Académie des sciences).

2. «Декарту мы обязаны приложеніемъ алгебры къ геометріи, на которомъ основывалось дифференціальное исчисленіе; Фермату же первымъ приложеніемъ анализа къ дифференціальнымъ количествамъ для нахожденія касательныхъ; новѣйшая геометрія есть ничто иное какъ этотъ послѣдеій способъ въ болѣе общемъ видѣ.» (Encyclopédie, Art. Géometrie).
3. «Ферматъ нашелъ средство для исчисленія безконечныхъ и далъ превосходный способъ для нахожденія наибольшихъ и наименьшихъ; помимо обозначенія этотъ способъ одинаковъ съ тѣмъ, который употребляется въ наше время; наконецъ способъ этотъ былъ бы дифференціальнымъ исчисленіемъ, еслибы авторъ обобщилъ его». (Предисловіе къ переводу Méthode des fluxions de Newton).
4. De solutione problematum geometricorum per curvas simplicissimas, etc. Opera varia, p. 110.
5. До начала нынѣшеяго столѣтія не было другихъ сочиневій о прикосновеніи шаровъ, кромѣ сочиненія Фермата. Но въ эту эпоху вопросъ этотъ привлекъ вниманіе нѣкоторыхъ учениковъ Монжа; они взглянули на предметъ съ новой точки зрѣнія, которую уже можно было предугадать въ общности пріемовъ и соображеній, составляющихъ характеръ геометріи знаменитаго учителя. Первыя попытки эти были помѣщены во второмъ нумерѣ І-го тома Correspondence polytechnique; краткій разборъ мемуара Дюпена, который долженъ былъ служить ихъ пополненіемъ, явился позднѣе въ томъ же изданіи (t. II, р. 420); изящные и новые результаты, находящіеся въ немъ, заставляютъ сожалѣть о томъ, что знаменитый академикъ не публиковалъ своей работы. Готье (Gaultier), профессоръ въ Conservatoire des arts et métiers, взялся снова за этотъ вопросъ и изслѣдовалъ его съ совершенно новою и окончательно удовлетворительною общностью. Новѣйшіе методы довели этотъ предметъ еще до большей простоты. Одни изъ этихъ изслѣдованій имѣютъ чисто начертательный характеръ, т. е. въ ннхъ не разсматривается никакихъ соотношеній между величинами линій; они суть самыя общія и самыя простыя. Между другими, вводящими понятіе о мѣрѣ и требующими составленія нѣкоторыхъ соотношеній между линіями, должно отличить изслѣдоваеія зеаменитаго Ферголы и ученика его Флаути, напечатанныя въ Mémoires de l'Académie des sciences de Naples (см. также Geometria del' sito соч. Flauti, изд. второе 1821 г., стр. 156).
   Вопросъ о шарѣ, касающемся четырехъ другихъ, есть одинъ изъ тѣхъ, въ которыхъ геометрія долгое время имѣла преимущество передъ анализомъ. Эйлеръ представилъ Петербургской Академіи въ 1779 году два аналитическія рѣшенія, которыя помѣщены были только въ началѣ нынѣшняго столѣтія въ Recueil этой Академіи за 1807 и 1808 годъ (напечатаны въ 1810 г). Карно уже указалъ на аналитическое рѣшеніе въ своей Geometrie de position (стр. 416), но онъ не выполнилъ всѣхъ исчисленій, которыя должны были привести его къ уравненію второй степени. Въ наше время Пуассонъ первый разрѣшилъ вполнѣ этотъ вопросъ путемъ вычисленія (Bulletin de la société philomatique, 1812 г., стр. 141). Вскорѣ послѣ этого Бине и Франсе предложили еще два другія аналитическія рѣшенія. (См. Journal de l'éсоlе polytechnique, тетр. 17 и Annales de mathématiques, томъ III).
6. Р. Симсонъ заимствовалъ у Фермата эти два прекрасныя предложенія и доказалъ ихъ: первое въ своемъ трактатѣ о поризмахъ подъ n° 81, а потомъ то и другое въ Трактатѣ о коническихъ сѣченіяхъ, кн. 5-я, теоремы 12 и 19. Второе, относящееся къ параболѣ, было также воспроизведено въ Dictionnaire de mathématiques par Ozanam, въ статьѣ o поризмахъ.
7. Jmo et Euclidem ipsum promovebimus et porimata in coni sectionibus et aliis quibuscumque curvts mirabilia sane, et hactenus ignota detegemus (Varia opera Mathematica, p. 119).
   Это обѣщаніе, которое мы, принимая въ соображеніе вѣрность сужденія и благородный характеръ автора, не имѣемъ повода считать преувеличеннымъ, показываетъ намъ, какъ важно было бы для геометріи отысканіе рукописей Фермата, о утратѣ которыхъ сожалѣли до сихъ поръ преимущественно по отношенію къ анализу.
   Можно надѣяться, что мы не навсегда лишены этихъ драгоцѣнныхъ сочиненій. Либри, посвятившій себя изысканіямъ по общей исторіи наукъ, уже отыскалъ два, до сихъ поръ неизданные, отрывка и нашелъ нѣсколько указаній, подающихъ надежду къ новымъ открытіямъ. Высокій умъ этого знаменитаго изслѣдователя служитъ ручательствомъ, что онъ при своихъ изысканіяхъ будетъ высоко цѣнить отрывки по чистой геометріи, также какъ и произведенія генія Фермата, относящіяся къ анализу.