Непрерывность и иррациональные числа (Дедекинд; Шатуновский)

Материал из Викитеки — свободной библиотеки
Перейти к навигации Перейти к поиску

Непрерывность и иррациональные числа
автор Рихард Дедекинд, пер. Самуил Осипович Шатуновский
Язык оригинала: немецкий. Название в оригинале: Stetigkeit und irrationale Zahlen. — Опубл.: 1923.


[стр.]

Непрерывность и иррациональные числа[править]

Предисловие автора[править]

Рассуждения, составляющие предмет этого маленького сочинения, относятся к осени 1858 года. Тогда я, в качестве профессора Союзного Политехникума в Цюрихе, в первый раз обязан был по своему положению излагать элементы дифференциального исчисления и при этом чувствовал жи­вее, чем когда-либо, недостаток в действительно научном обосновании арифметики. При изложении понятия о при­ближении переменной величины к постоянному пределу, и именно при доказательстве того положения, что величина, которая возрастает постоянно, но не сверх всяких границ, должна приближаться к некоторому пределу, я прибегал к геометрической наглядности. Да и теперь я из дидактиче­ских оснований считаю такое привлечение геометрической наглядности при первом обучении дифференциальному исчислению необычайно полезным, даже неизбежным, если не хотят потратить слишком много времени. Но никто не ста­нет отрицать того, что этот способ введения в изучение дифференциального исчисления не может иметь никакого притязания на научность.

Во мне тогда это чувство неудовлетворенности преобладало в такой степени, что я принял твердое решение думать до тех пор, пока не найду часто арифметического и вполне строгого основания для начал анализа бесконечных. Говорят часто, что дифференциальное исчисление зани­мается непрерывными величинами, однако же нигде не дают определения этой непрерывности, и даже при самом строгом изложении дифференциального исчисления доказательства [стр.]не основывают на непрерывности, а апеллируют, более или менее сознательно, либо к геометрическим представлениям, либо к представлениям, которые берут свое начало в гео­метрии, либо, наконец, основывают доказательства на поло­жениях, которые сами никогда не были доказаны чисто арифметическим путем. Сюда относится, например, и выше­ упомянутое положение. Более точное изыскание, убедило меня в том, что это или всякое другое эквивалентное ему предложение может до известной степени рассматриваться, как достаточный фундамент для анализа бесконечных. Все сводится только к тому, чтобы открыть настоящее начало этого положения в элементах арифметики и вместе с этим приобрести действительное определение существа непрерыв­ности. Это мне удалось 24 ноября 1858 года, и, несколько дней спустя, я сообщил результаты своих размышлений моему дорогому другу Durège'у, что повело к продолжи­ тельной и оживленной беседе. Впоследствии я излагал эти мысли о научном обосновании арифметики то одному, то другому из моих учеников, читал также об этом предмете доклад в ученом обществе профессоров здесь, в Брауншвейге, но я не мог окончательно решиться на действительное опу­бликование, потому, во-первых, что изложение предста­вляется не легким, и потому еще, что и самый предмет так мало плодовит. Несколько дней назад, 14 марта, в то время, как я наполовину стал уже подумывать о том, чтобы из­ брать эту тему предметом настоящего юбилейного сочине­ния [1], ко мне в руки попала, благодаря любезности ее ав­тора, статья E. Heine (Crelle's Journal. Bd. 74), которая и подкрепила меня в моем решении. По существу я вполне согласен с содержанием этого сочинения, но должен откро­венно сознаться, что мое изложение кажется мне более простым по форме и более точно выдвигающим настоящее ядро вопроса. В то время, как я писал это предисловие (20 марта 1872 г.), я получил интересную статью „Ueber die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trigonometrischen Reihen“ Gr. Cantor'a (Mathem. Annalenvon von Clebsch und [стр.]mann. Bd. 5), за которую высказываю искреннюю благо­ дарность остроумному автору. Как мне кажется при быстром чтении, аксиома в § 2 вполне согласуется, независимо от внешней формы изложения, с тем, что я отмечаю ниже в § 3, как сущность непрерывности. Какую же пользу пред­ставит выделение, хотя бы только в понятии, вещественных чисел еще более высокого порядка, я, согласно с моим пониманием системы вещественных чисел, как совершенной в самой себе, еще признать не в состоянии. [стр.]

§ 1. Свойства рациональных чисел[править]

Хотя арифметика рациональных чисел предполагается здесь уже известной, но мне думается, что полезно будет выдвинуть некоторые главные моменты, не подвергая их обсуждению, с тою только целью, чтобы заранее наметить точку зрения, на которую я становлюсь в последующем из­ложении. Я смотрю на всю арифметику, как на необходи­мое или, по крайней мере, натуральное следствие простейше­го арифметического акта — счета, самый же счет представляет не что иное, как последовательное созидание бесконечного ряда положительных целых чисел, где каждый индивидуум определяется непосредственно ему предшествующим. Про­ стейший акт заключается в переходе от созданного уже индивидуума к следующему, вновь созидаемому. Уже сама по себе цепь этих чисел образует необычайно полезное вспомогательное средство для человеческого ума и представляет неиссякаемое богатство замечательных законов, к которым мы приходим посредством введения четырех основных ариф­метических действий. Сложение есть соединение в один акт упомянутых простейших актов, повторенных сколько угодно раз. Таким же образом из сложения проистекает умножение. Между тем, как обе эти операции всегда вы­ полнимы, выполнимость обратных операций — вычитания и деления — оказывается ограниченной. Каков бы ни был здесь ближайший повод, какие бы сравнения и аналогии с опытом и наблюдением ни приводили к этому, — вопрос об этом мы оставим в стороне; достаточно того, что именно эта ограниченность в выполнении обратных операций всякий раз становилась настоящей причиной нового творческого акта. Так созданы человеческим умом отрицательные и [стр.]ные числа, благодаря чему приобретено было орудие беско­нечно более высокого совершенства в виде системы всех рациональных чисел. Эта система, которую я обозначу че­рез , обладает прежде всего тою полнотою и закончен­ностью, которую я в другом месте[2] отметил, как признак числового корпуса (Zahlkörper), и которая состоит в том, что четыре основные операции со всякими двумя индивиду­ умами из выполнимы, то есть, что результатом этих опе­раций всегда опять является определенный индивидуум из , если только исключить единственный случай деления на нуль.

Для нашей ближайшей цели гораздо более важным яв­ляется другое свойство системы , которое может быть вы­ражено так: система представляет правильно распреде­ленную, бесконечно простирающуюся в две стороны область одного измерения. Что именно этим хотят сказать — достаточ­ но указывается выбором выражений, заимствованных из обла­сти геометрических представлений; тем более необходимо по­ этому выделить соответствующие им чисто арифметические особенности — чтобы не могло даже только казаться, будто арифметика нуждается в таких чуждых ей представлениях.

Если нужно выразить, что знаки и означают одно и то же рациональное число, то полагают одинаково и . Различие двух рациональных чисел сказывается в том, что разность имеет или положительное, или отри­цательное значение. В первом случае больше , меньше , что и указывается знаками , [3]. Так как во вто­ром случае — а имеет положительное значение, то , . Сообразно с этой двойственностью в характере разли­чия двух чисел и , имеют место следующие законы:

I. Если , , то . Всякий раз, когда , будут два различных (или неравных) числа и когда будет больше одного и меньше другого, мы, не опасаясь отголоска [стр.]геометрических представлений, будем это выражать так: лежит между обоими числами , .

II. Если , суть два различных числа, то всегда су­ществует бесконечное множество чисел, лежащих между , .

III. Если есть определенное число, то все числа системы распадаются на два класса и , из коих каждый содержит бесконечно много индивидуумов. Первый класс обнимает собой все те числа которые меньше ; второй класс обнимает собою все числа , которые больше . Само число может быть отнесено по произволу к первому или ко второму классу и тогда оно соответственно бывает наиболь­шим числом в первом классе или наименьшим числом во втором. В обоих случаях разложение системы на два класса , таково, что каждое число первого класса меньше каждого числа второго класса .

§ 2. Сравнение рациональных чисел с точками прямой линии[править]

Поставленные нами на вид свойства рациональных чи­сел напоминают о взаимном относительном положении точек прямой линии . Если различать два принадлежащие ей противоположные направления словами „вправо“ и „влево“, и если , — две различные точки, то либо точка распо­ложена вправо от , и в то же время влево от , или, наоборот, — вправо от , и в то же время влево от . Тре­тий случай невозможен, если и действительно различные точки. Сообразно с этим различием в положении имеют место следующие законы:

I. Если лежит вправо от и опять вправо от , то и лежит вправо от ; говорят тогда, что лежит между точками и .

II . Если , две различные точки, то существует беско­нечное множество точек, лежащих между и .

III. Если есть определенная точка на , то все точки на распадаются на два класса , , из коих каждый содержит бесконечное множество индивидуумов. Первый класс обнимает собою все те точки которые лежат вправо от , а второй класс обнимает все точки, которые [стр.]лежат влево от . Сама точка может быть отнесена по произволу к первому или ко второму классу. В обоих слу­чаях разложение прямой на два класоа или два куска таково, что каждая точка первого класса лежит влево от каждой точки второго класса .

Эта аналогия между рациональными числами и точками прямой становится, как известно, действительною зависи­мостью, когда на прямой выбирают определенную начальную или нулевую точку о и определенную единицу длины для измерения отрезков. При помощи последней можно для каждого рационального числа а построить соответствующую длину, и если нанести ее на прямую от точки о вправо или влево, смотря по тому, есть ли а положительное или отрицательное число, то получим определенную конечную точку , которая может быть принята за точку, соответствующую числу . Рациональному числу нуль соответствует точка . Таким образом, каждому рациональному числу , т. е. каждому индивидууму в , соответствует одна и только одна точка , то-есть, один индивидуум на . Если двум числам , отвечают две точки , и если , то лежит вправо от . Законам I, II, III предыдущего параграфа вполне отвечают законы I, II, III настоящего.

§ 3. Непрерывность прямой линии[править]

Но теперь фактом величайшей важности является то обстоятельство, что на прямой есть бесконечно много точек, которые не соответствуют никакому рациональному числу. Действительно, если точка соответствует рациональному числу , то, как известно, длина соизмерима с употреблен­ной при построении единицей длины, то есть существует третья длина, так называемая общая мера, относительно которой обе длины представляются целыми кратными. Но уже древние греки знали и доказали, что существуют длины не соизмеримые с данной единицей длины, — например дагональ квадрата, сторона которого есть единица длины. Если нанести такую длину от точки на прямую. то получим конечную точку, которой не соответствует никакое рацио­нальное число. Так как легко далее показать, что существует [стр.]бесконечное множество длин, несоизмеримых с единицей длины, то можем утверждать: прямая бесконечно более богата индивидуумами-точками, чем область рациональ­ных чисел индивидуумами-числами.

Если же хотят, а это в самом деле желательно, иссле­довать также все явления на прямой и арифметическим пу­тем, то, в виду недостаточности для этой цели рациональ­ных чисел, становится необходимым существенно улучшить построенный путем созидания рациональных чисел инстру­мент , создав новые числа таким образом, чтобы область чисел приобрела ту же полноту, или, скажем прямо, ту же непрерывность, как и прямая линия.

Приведенные до сих пор соображения всем так хорошо известны, что многие сочтут их повторение совершенно из­ лишним.

Однако же, я нахожу их краткое обозрение необходи­мым для того, чтобы надлежащим образом подготовить глав­ный вопрос. Принятое до сих пор введение иррациональ­ных чисел связывается именно с понятием о протяженных величинах — которое само нигде до сих пор не определено — и определяет число, как результат измерения такой величины другою того же рода[4]. Вместо этого я требую, чтобы ариф­метика развивалась сама из себя. Можно в общем согла­ситься с тем, что такие связи с неарифметическими пред­ ставлениями дали ближайший повод к расширению поня­тия о числе (хотя это решительно не имело места привведении комплексных чисел), но это безусловно не может служить достаточным основанием для того, чтобы ввести в арифметику, науку о числах, эти чуждые ей соображения. Как отрицательные и дробные рациональные числа созданы путем свободного творчества, и как вычисления с этими числами должны были и могли быть сведены к законам [стр.]числений с положительными целыми числами, точно так же должно стремиться к тому, чтобы иррациональные числа были вполне определены через посредство рациональных чисел. Но как это сделать — вот в чем вопрос.

Предыдущее сравнение области рациональных чисел с прямою привело к открытию в первой изъянов (Lückenhaftigkeit), неполноты, или разрывности, между тем как прямой мы приписываем полноту, отсутствие пробелов, или непрерывность. В чем же, собственно, состоит эта непрерыв­ность? Все и заключается в ответе на этот вопрос, и только в этом ответе мы приобретаем научное основание для иссле­дования всех непрерывных областей. Смутными разговорами о непрерывной связи малейших частиц, конечно, ничего не достигнешь. Дело идет о том, чтобы дать точный признак непрерывности, который мог бы служить базисом действи­тельных дедукций. Долгое время я напрасно об этом ду­мал, но, наконец, нашел искомое. Разные лица, вероятно, оценят эту находку различно, но все же я думаю, что боль­шинство найдет ее содержание весьма тривиальным. Оно состоит в следующем: в предыдущих параграфах обращено было внимание на то, что каждая точка прямой произ­водит разложение прямой на две части таким образом, что каждая точка одной части расположена влево от каждой точки другой. Я усматриваю теперь сущность непрерывности в обратном принципе, то-есть, в следующем:

„Если все точки прямой распадаются на два класса такого рода, что каждая точка первого класса лежит влево от каждой точки второго класса, то существует одна и только одна точка, которая производит это разделение прямой на два класса, это рассечение прямой на два куска“[5]. [стр.]Как уже и было сказано, я, кажется, не ошибаюсь, приняв, что каждый тотчас же согласится с истинностью этого утверждения; большинство моих читателей будут даже очень разочарованы, узнав, что посредством этой тривиаль­ности должен быть снят покров с тайны непрерывности. По этому поводу я замечу следующее: мне очень приятно, если каждый находит упомянутый принцип столь ясным и в та­кой мере согласным со своим представлением о прямой ли­нии, ибо я решительно не в состоянии привести какое бы то ни было доказательство справедливости этого принципа, и никто не в состоянии этого сделать. Принятие этого свой­ства прямой линии есть не что иное, как аксиома, посред­ством которой мы только и признаем за прямой ее непре­рывность, мысленно вкладываем (hineindenken) непрерыв­ность в прямую. Если вообще пространство имеет реальное бытие, то ему нет необходимости быть непрерывным. Бесчи­сленные его свойства оставались бы теми же, если бы оно было разрывным. И если бы мы знали наверное, что про­странство не обладает непрерывностью, то, при желании, нам все-таки ничто не могло бы помешать сделать его не­прерывным через мысленное заполнение его пробелов. Это заполнение должно было бы состоять в созидании но­вых точек и осуществлялось бы сообразно упомянутому принципу. [стр.]

§ 4. Созидание иррациональных чисел[править]

Последними словами уже достаточно ясно указывается, каким образом разрывная область рациональных чисел должна быть дополнена до превращения ее в непрерывную. Как это поставлено было на вид в § 1 (III), каждое рацио­нальное число производит разложение системы на два класса и такого рода, что каждое число первого класса меньше каждого числа второго класса. Число представляет либо наибольшее число класса , либо наи­меньшее число класса . Если теперь дано какое-либо подразделение системы на два класса , , обладаю­щее только тем характерным свойством, что каждое число из меньше каждого числа из , то для краткости мы будем называть такое подразделение сечением и будем его обозначать через . Мы можем тогда сказать, что каждое число производит одно или, собственно, два се­чения, на которые мы, однако, не будем смотреть, как на существенно различные[6]; это сечение имеет кроме тою то свойство, что либо между числами первого класса есть наи­большее, либо между числами второго класса существует наименьшее. И наоборот, если сечение обладает и этим свойством, то оно производится этим наибольшим или наи­меньшим числом.

Легко, однако, убедиться в том, что существует бес­численное множество сечений, которые не могут быть про­изведены рациональным числом. Ближайший пример есть следующий.

Пусть будет положительное целое число, но не ква­драт целого числа. Существует положительное целое число такого рода, что

[стр.]Если возьмем для второго класса каждое положи­тельное рациональное число, которого квадрат , а для первого класса все остальные рациональные числа, то это подразделение составит сечение , то-есть, каждое число будет меньше каждого числа . Именно, когда или есть отрицательное число, то уже в силу этого меньше каждого числа , ибо это последнее, по определе­нию, представляет собой положительное число. Если же есть число положительное, то его квадрат , и, следова­тельно, меньше каждого числа , которого квадрат .

Это сечение не производится, однако, никаким рацио­нальным числом. Чтобы доказать это, должно прежде всего обнаружить, что нет никакого рационального числа, кото­рого квадрат равен . Хотя это и известно из первых эле­ментов теории чисел, но мы все же находим возможным уделить место следующему косвенному доказательству. Если есть рациональное число, которого квадрат , то суще­ствуют и два положительных целых числа и , которые удовлетворяют уравнению

и можно принять, что есть наименьшее положительное целое число, обладающее тем свойством, что его квадрат че­рез умножение на обращается в квадрат некоторого це­ лого числа . Так как, очевидно[7],

то число

есть положительное целое число и притом меньшее, чем . Если, далее, положить

то и будет положительное[8] целое число, причем [стр.]

что противоречит допущению, сделанному относительно .

Таким образом, квадрат всякого рационального числа или , или . Отсюда легко выводится, что в клас­се нет наибольшего, а в классе нет наименьшего чи­сла. Действительно, если положить

то

и

Если взять здесь для положительное число из клас­са , то , следовательно, и ; поэтому также принадлежит к классу . Если же положить, что есть число из класса то ; и , так что принадлежит к классу . Это сечение не производится, следовательно, никаким рациональным числом.

В том свойстве, что не все сечения производятся ра­циональными числами, и состоит неполнота, или разрыв­ность, области рациональных чисел.

Теперь всякий раз, когда нам дано сечение , которое не может быть произведено никаким рациональ­ным числом, мы создаем новое иррациональное число , которое рассматривается нами, как вполне определенное этим сечением . Мы скажем, что число соответствует этому сечению, или что оно производит это сечение. Таким образом, отныне каждому определенному сечению соответ­ ствует одно и только одно рациональное или иррациональное число, и мы будем смотреть на два числа, как на различные или неравные тогда и только тогда, когда они соответствуют существенно различным сечениям.

Чтобы найти основание для распределения всех веще­ственных, т. е. всех рациональных и иррациональных чисел, нам необходимо прежде всего исследовать соотношения [стр.]между двумя какими-либо сечениями и , производимыми какими угодно двумя числами и . Вся­кое сечение , очевидно, дано вполне уже в том слу­чае, когда мы знаем один из двух классов, например, пер­вый класс потому что второй состоит из всех рацио­нальных чисел, не заключающихся в классе ; характерной же особенностью этого первого класса является то, что, за­ключая в себе какое-либо число он содержит и все числа, меньшие . Если теперь сравнить два первых класса этого рода и то может случиться, 1) что они вполне тожде­ственны, т. е. каждое число, содержащееся в содержится также и в и каждое число, содержащееся в содер­жится и в . В этом случае необходимо тождественно с ; оба сечения вполне тождественны, что мы знаками выражаем через , или .

Но если два класса и не тождественны, то в одном, например, в есть число , не содержащееся в классе и заключающееся, следовательно, в ; поэтому, все числа , заключающиеся в несомненно, будут мень­ше, чем это число , следовательно, все числа за­ ключаются и в .

Если же 2) это число будет единственным числом в , не входящим в , то всякое другое число , содер­жащееся в будет содержаться и в , а потому мень­ше , т. е. есть наибольшее между числами ; поэто­му сечение производится рациональным числом Относительно второго сечения мы уже знаем, что все числа класса содержатся и в а по­тому они меньше, чем число , которое содержится в ; всякое же другое число содержащееся в , должно быть, больше, чем , потому что иначе было бы также меньше, чем , и заключалось бы в а следователельно и в . Таким образом, есть наименьшее между числами, содержащимися в ; следовательно, и сечение про­изводится тем же рациональным числом . Оба сечения поэтому несущественно равличны.

Но если 3) в есть, по крайней мере два различных рациональных числа и не содержащихся [стр.]в то их существует и бесконечное множество, потому что все бесконечное множество чисел, лежащих между и (§ 1,II), содержится, очевидно, в но не в . Два числа и , соответствующие в этом случае существенно различным сечениям и , мы также назовем различными, а именно скажем, что больше, чем , что меньше, чем , и выразим это в знаках как через , так и через . Здесь следует иметь в виду, что это опреде­ление вполне совпадает с прежним, когда оба числа и были рациональными.

Остаются еще следующие возможные случаи: если 4) в содержится одно и только одно число , не содержащееся в то оба сечения и только несущественно различны и производятся одним и тем же числом . Если же 5) в есть, по крайней мере, два различных числа, не содержащихся в , то ,

Так как этим исчерпываются все случаи, то заключаем, что из двух различных чисел одно необходимо окажется большим, другое меньшим: здесь два возможных случая. Тре­тий случай невозможен. Это заключалось уже в употре­блении сравнительной степени (больше, меньше) для выра­жения отношения между и ; но только теперь выбор та­кого выражения вполне оправдан. Именно при изысканиях такого рода необходимо самым заботливым образом остере­гаться, чтобы, даже при всем желании быть честным, не увлечься и не сделать непозволительных перенесений из одной области в другую из-за поспешного выбора выраже­ний, относящихся к другим, уже развитым представлениям.

Если снова точно обсудим случай , то найдем, что меньшее число в том случае, когда оно рациональное наверно принадлежит к классу . Действительно, так как в есть число , принадлежащее к классу , то независимо от того, будет ли наибольшим числом в или наименьшим в , наверное имеем и, следовательно, содержится в . Точно так же из выводится, что большее число , когда оно рациональное, непременно содержится в , ибо . Соединяя оба соображения [стр.]найдем следующий результат: если сечение произво­дится числом , то всякое рациональное число принадле­жит к классу или к классу , смотря по тому, будет ли оно меньше или больше . Если само число а рациональ­ное, то оно может принадлежать к тому или другому классу.

Отсюда, наконец, вытекает еще и следующее: если , если, значит, существует бесчисленное множество чи­сел в не содержащихся в , то существует среди них также бесконечное множество таких чисел, которые одновременно отличны и от , и от . Каждое такое рациональ­ное число , ибо оно содержится в и в то же время оно , потому что содержится в .

§ 5. Непрерывность области вещественных чисел[править]

Сообразно с твердо установленными нами родами раз­личия чисел, система всех вещественных чисел образует правильно распределенную область одного измерения. Этим сказано только то, что имеют место нижеследующие законы:

I. Если и , то и . Мы будем говорить, что лежит между числами и .

II. Если , суть два различных числа, то всегда су­ществует бесконечное множество различных чисел, лежащих между числами и .

III. Если есть определенное число, то все числа си­стемы распадаются на два класса , и , из коих каждый содержит бесконечно много индивидуумов. Первый класс обнимает собою все те числа , которые ; второй класс обнимает все те числа , которые . Само число мо­жет быть отнесено по произволу к первому или ко второму классу и тогда оно соответственно бывает наибольшим чи­слом в первом или наименьшим во втором классе. В обоих случаях разложение системы на два класса и таково, что каждое число первого класса меньше каждого числа второго класса , и мы говорим, что это разложение произведено числом .

Чтобы быть кратким и не утомлять читателя, я опускаю доказательства этих положений, вытекающие непосредственно из определений предыдущих параграфов. [стр.]Кроме этих свойств, область обладает еще непрерыв­ностью, то есть имеет место следующее предложение:

IV. Если система всех вещественных чисел распа­дается на два класса и такого рода, что каждое число класса меньше каждого числа класса , то суще­ствует одно и только одно число , производящее это разло­жение.

Доказательство. Вместе с разложением или сечением на два класса и дается и некоторое сечение системы всех рациональных чисел, определяемое тем пра­вилом, что содержит все рациональные числа класса , а все остальные рациональные числа, то есть все рацио­нальные числа класса . Пусть будет то вполне определен­ное число, которым производится это сечение . Если теперь есть какое-либо число, отличное от , то существует бесконечно много рациональных чисел , которые лежат между и . Если , то ; поэтому принадлежит к классу а следовательно, и к классу , но так как вместе с этим , то и принадлежит к тому же классу , ибо каждое число в больше каждого числа из . Если же , то ; поэтому принадлежит к классу , а следо­вательно, и к классу ; но так как вместе с этим , то и принадлежит к классу , потому что каждое число в меньше каждого числа с из . Таким образом, каждое число , отличное от , принадлежит или к классу или к классу , смотря по тому, будет ли , или ; сле­довательно, само а представляет либо наибольшее число в , либо наименьшее в , то есть, есть некоторое и, оче­видно, единственное число, производящее разложение си­стемы на классы и . Что и требовалось доказать.

§ 6. Вычисления с вещественными числами[править]

Для того, чтобы вычисление с двумя вещественными числами и свести к вычислению с рациональными чи­слами, нужно только по двум сечениям и , производимым числами и в системе определить сечение , соответствующее результату [стр.]ния[9]. Мы ограничимся здесь приведением простейшего примера — сложения.

Если есть какое-либо рациональное число, то мы от­несем его к классу когда существует число в и число в такого рода, что . Все другие числа отнесем к классу . Это подразделение всех рациональ­ных чисел на два класса и , очевидно, образует [стр.]чение, ибо всякое число в меньше каждого числа в . Если теперь оба числа , рациональные, то каждое содержащееся в число , ибо и , а потому и . Если бы, далее, в содержалось какое-либо число , так что было бы где означает положительное число, то мы нашли бы, что

а это находится в противоречии с определением числа так как есть число из , а есть число из . Таким образом, каждое содержащееся в число ; следовательно, сечение образуется в этом случае суммой . Мы поэтому не погрешим против определе­ния, которое имеет место в арифметике рациональных чи­сел, если во всех случаях будем разуметь под суммой двух произвольных вещественных чисел , то число , по­средством которого образуется сечение [10]. Далее, если только одно из двух чисел , — например, — раци­ональное, то легко убедиться, что на сумму не влияет то обстоятельство, отнесем ли мы а к первому классу , или ко второму .

Так же, как сложение, можно определить и остальные опе­рации так называемой элементарной арифметики, а именно составление разности, произведения, степени, корня, лога­рифма. Таким образом можно придти к действительному доказательству теорем (как, например, ), которые, сколько я знаю, до сих пор нигде не доказаны. Слишком большие подробности, которых следует опасаться при определении более сложных операций, лежат частью в природе самого предмета, большею же частью они могут быть устранены. В этом отношении является весьма полезным понятие об интервале, т. е. системе рациональных чисел, обладающих следующим характерным свойством: если и суть числа системы то все рациональные числа, лежащие между и , содержатся в . Система [стр.]ональных чисел, а также и оба класса каждого ее сечения суть интервалы. Если существует рациональное число которое меньше каждого числа интервала , и если есть рациональное число , которое больше каждого числа ин­тервала , то называется конечным интервалом; в этом случае существует, очевидно, бесконечное множество чисел такого же рода, как . Вся область распадается на три куска: , , , причем появляются два вполне опреде­ленных рациональных или иррациональных числа и , которые соответственно могут быть названы нижней и верхней (или меньшей и большей) границей интервала . Нижняя граница определяется сечением, в котором первый класс образован системой , верхняя же граница определяется сечением, в котором образует второй класс. О всяком рациональном или иррациональном числе , лежащем между и , будем говорить, что оно лежит внутри интервала . Когда все числа интервала являются также числами интервала , то будет называться куском .

Придется, по-видимому, сделать еще большие отступле­ния, когда желательно будет перенести бесчисленные пред­ложения арифметики рациональных чисел [например, пред­ложение, в силу которого ] на произвольные вещественные числа. Это, однако, не так; скоро убеждаешься, что все здесь приводится к доказательству положения, по которому арифметические операции сами обладают некото­рой непрерывностью. То, что я под этим понимаю, я облеку в форму общей теоремы.

„Если число есть результат вычислений, совершенных над числами , , ,..., и если лежит внутри интервала , то можно указать интервалы , , ,... (внутри которых ле­жат числа , , ,...) такого рода, что результат такого же вычисления, в котором, однако, числа , , ,..., заменены любыми числами соответственных интервалов , , ,..., будет всегда представлять число, лежащее внутри интервала . Однако же, ужасная трудность, связанная со словесным изложением такой теоремы, убеждает нас в том, что здесь необходимо что-нибудь предпринять для того, чтобы придти в помощь языку: этого мы действительно [стр.]стигаем самым совершенным образом, когда вводим понятие о переменных величинах, о функциях, о пределах. Всего целесообразнее было бы основать на этих понятиях определения даже простейших арифметических операций, что здесь, однако, не может быть дальше проведено.

§ 7. Анализ бесконечных[править]

В заключение мы уясним себе зависимость между при­ веденными до сих пор соображениями и основными поло­ жениями анализа бесконечных.

Говорят, что переменная величина , пробегающая последовательные определенные численные значения, приближается к постоянному пределу , если она в ходе процесса изменения окончательно[11] заключается между каждыми двумя числами, между которыми а само лежит, или, что то же, если разность , взятая абсолютно, окончательно опускается ниже всякого данного значения, отличного от нуля.

Одно из важнейших предложений гласит так: „Если величина возрастает постоянно, но не сверх всяких гра­ниц, то она приближается к некоторому пределу“.

Я доказываю это предложение следующим образом: по предположению, существует одно, а следовательно, и бесчисленное множество чисел такого рода, что постоянно остается . Я обозначаю через систему всех этих чисел и через систему всех остальных чисел ; каждое из последних имеет то свойство, что впродолжение процесса изменения имеем окончательно ; поэтому каждое число меньше каждого числа и, следовательно, существует число , которое представляет собою или наибольшее в , или наименьшее в (§ 5, IV). Первого быть не может, ибо никогда не перестает возрастать, поэтому а есть наименьшее число в . Какое бы число мы ни взяли, [стр.]рано или поздно будет окончательно при­ ближается к пределу .

Это предложение эквивалентно принципу непрерывности, то есть оно теряет свою силу, как только мы станем смотреть хотя бы на одно вещественное число, как на число, отсутствующее в области ; или, выражаясь иначе, если это предложение верно, то верна и теорема IV в § 5.

Другое предложение, также ему эквивалентное, но еще более часто встречающееся в анализе бесконечных, гласит так: „Если в процессе изменения величины можно указать для каждой положительной величины соответствующий момент, начиная с которого изменяется меньше, чем на , то приближается к некоторому пределу“.

Это обращение легко доказуемой теоремы, по которой переменная величина, приближающаяся к определенному пределу, изменяется, в конце концов, меньше, чем на любую данную положительную величину, может быть выведено как из предыдущего предложения, так и непосредственно из принципа непрерывности. Мы выберем последний путь. Пусть будет произвольная положительная величина (то есть ); по предположению, наступает момент, начиная с которого изменяется меныше, чем на , то есть, если в этот момент обладает значением , то впоследствии всегда и . Я оставляю на время первоначальную гипотезу и держусь только сейчас доказанного факта, что все позднейшие значения переменной лежат между конечными значениями, которые могут быть даны. На этом я основываю двойное подразделение всех вещественных чисел. К системе я отношу всякое число (например, ), обладающее тем свойством, что в ходе процесса окончательно становится ; к системе я отношу веякое число, не содержащееся в . Если , есть такое число то, как бы далеко процесс ни продолжался, случай будет еще наступать бесчисленное множество раз[12] Так как [стр.]ждое число меньше каждого числа [13], то существует вполне определенное число , которым производится это сечение системы и которое я буду называть верхним пределом переменной величины , остающейся всегда конечною. Но характером изменений переменной порождается также другое сечение системы : число (например, ) заключается в если впродолжение процесса окончательно всякое другое число , подлежащее включению в , имеет то свойство, что никогда окончательно не становится , так что случай будет наступать еще бесчисленное множество раз. Число , производящее это сечение, пусть называется нижним пределом переменной . Оба числа , очевидно характеризуются следующим свойством: если есть произвольно малая положительная величина, то всегда будет окончательно и но никогда не будет окончательно и . Теперь возможны два случая. Если и отличны друг от друга, то необходимо , ибо всегда ; переменная величина колеблется и, как бы далеко процесс ни пошел, она все еще претерпевает изменения, значения которых превосходят , где означает произвольно малую положительную величину. Первоначальная гипотеза, к которой я теперь только возвращаюсь, находится в противоречии с этим выводом; остается, поэтому, только второй случай , и так как уже доказано, что как бы мала ни была положительная величина , окончательно будет всегда и , то приближается к пределу , что и требовалось доказать.

Удовольствуемся этими примерами в изложении связи между принципом непрерывности и анализом бесконечных.


  1. Автор выпустил это сочинение к юбилею своего отца. Примеч. переводчика
  2. Vorlesungen über Zahlenteorie von P. G. Lejeune-Dirichlet. Zweite Auflage. § 159.
  3. В последующем подразумевается так называемое „алгебра­ическое“ больше и меньше, если только не прибавлено слово „абсолютно“.
  4. Кажущееся преимущество общности такого определения числа исчезает тотчас же, как только подумаешь о комплексных числах. На­ оборот, по моему воззрению, понятие отношения двух одпородных величин тогда только может быть ясно развито, когда иррациональные числа уже введены. Примеч. переводчика.
  5. То-есть, если, следуя какому бы то ни было закону (правилу), например, подчиняясь условиям некоторой задачи, мы произведем разделение точек прямой на два класса таким образом, что 1) каждая точка прямой принадлежит либо к тому, либо к другому классу, и 2) каждая точка одного класса расположена влево от каждой точки другого класса, то существует одна и только одна точка такого свой­ства, что каждая точка, влево от нее лежащая, принадлежит к одному классу, а все остальные точки прямой принадлежат к другому классу. Если бы мы разорвали прямую, т. е. удалили бы из нее отрезок то оставшийся геометрический образ („разорванная“ прямая) был бы разбит на два куска и , лежащие с различных сторон изъяна та­ким образом, что 1) каждая точка рассматриваемого образа принадле­жала бы либо к классу , либо к классу , и 2) если бы кусок , содержащий точку , лежал влево от изъяна, то каждая точка класса лежала бы влево от каждой точки класса . Таким образом, каждая точка, лежащая влево от точки , и точка принадлежали бы к классу , а все остальные точки — к классу . Точка В обладает подобным же свойством: все точки нашего образа, лежащие влево от В, принадле­жат к классу Р; остальные точки — к классу . Существованием не одной, а двух точек такого свойства, как и , характеризуется разрывность нашего образа. Невозможностью существования двлгх таких точек и существованием одной точки такого рода определяется непрерывность прямой. Примеч.переводчика.
  6. Число может быть отнесено к первому или второму классу. Оба эти подразделения на два класса рассматриваются, как два случая одного и того же сечения. В первом случае, когда число отне­сено к первому классу, оно есть наибольшее число в первом классе, и нельзя указать наименьшего числа во втором классе; во втором случае нет наиболцшего числа в первом классе, но есть наименьшее число во втором классе. Примеч. переводчика
  7. Число не может быть кратным числа , ибо в противном случае мы, обозначая через положительное целое, имели бы ; или что недопустимо, так как не точный ква­драт. Отсюда следует, что содержится между некоторымии двумя по следовательными членами и ряда Примеч. переводчика.
  8. Ибо . Примеч. переводчика.
  9. Автор, очевидно, хотел сказать следующее: действия сложения, вычитания, умножения и деления определены были до сих нор только для рациональных чисел; для иррациональных же чисел эти действия не будут иметь смысла до тех пор, пока мы не условимся относительно того, какой именно смысл мы желаем им придавать в применении к иррациональным числам. Так, например, сумму двух иррациональных чисел нельзя определить ни как совокупность, в которой содержится столько единиц и аликвотных частей единицы, сколько их в двух сла­гаемых, вместе взятых, ни индуктивно, как это делал Грассман для це­лых чисел, ибо ни то, ни другое определение не имеет здесь смысла. Мы могли бы и совсем не употреблять термина „сумма“ в применении к иррациональным числам, говоря, что иррациональные числа не имеют суммы, но делать такое или подобное ограничение было бы в высшей степени неудобно; с другой стороны, сообразуясь с выгодами соблю­дения в одной и той же области знания так называемого правила перманентности в определении термина (по этому правилу всякое из­менение в соозначении термина должно совершаться так, чтобы новое соозначение по возможности не только не противоречило прежнему, но заключало бы последнее, как частный случай), будет наиболее целе­сообразным определить термины основных действий над веществен­ными числами так, чтобы в своем новом соозначении эти термины могли быть относимы как к рациональным, так и к иррациональным числам, и чтобы, совершая над рациональными числами действия на основании нового их определения, мы всегда получали прежние ре­ зультаты. Пусть будет результат совершения некоторого действия О над двумя произвольными рациональными числами и . Если найдем правило К, по которому, зная сечения, производимые числами и , мы всегда в состоянии найти сечение, производимое числом , то действие О можно будет определить, как процесс составления некоторого се­чения по правилу К из сечений, производимых числами и . Такое определение действия О, имея смысл и в том случае, когда одно из чисел и или оба они иррациональны, обладает евойством перманентности. Процесс отыскания новых перманентных определений дей­ствий при переходе от рациональных чисел ко всей системе веществен­ных чисел автор называет приведением вычислений с вещественными числами к вычислениям с рациональными числами. Примеч. переводчика.
  10. Из сечений и по указанному только что способу. Примеч. переводчика.
  11. Автор употребляет слово „definitive“ = „определенно, решительно, окончательно“ в том смысле, что, приобретя какое-либо свойство в определенный момент своего изменения, переменная величина удерживает это свойство в продолжение всего остального хода процесса. Примеч. переводчика.
  12. Ибо противное означало бы, что неравенство справедливо окончательно, т. е. принадлежало бы к классу . Примеч. переводчика.
  13. Потому что после того, как величина окончательно стала она еще больше, или сделается еще больше, чем . Примеч. переводчика.