Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов/Монж/ДО

Материал из Викитеки — свободной библиотеки
Перейти к навигации Перейти к поиску
Yat-round-icon1.jpg

Пятая эпоха:
Монжъ. — Кузинери. — Карно. — Различныя сочиненія по геометріи.

авторъ Мишель Шаль, пер. В.Я. Цингеръ
Языкъ оригинала: французскій. Названіе въ оригиналѣ: Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en Géométrie particulièrement de celles qui se rapportent à la Géométrie moderne. — Изъ цикла «Историческій обзоръ происхожденія и развитія геометрическихъ методовъ». Дата созданія: 1829-1835 гг., опубл.: 1837, перев. 1870-83 гг. Источникъ: Commons-logo.svg Сканы, размещённые на Викискладе Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов/Монж/ДО въ новой орѳографіи


Пятая эпоха, n° 1-22.


[217]1. Начертательная геометрія. Въ послѣднее время, послѣ почти вѣковой остановки, чистая геометрія обогатилась новымъ ученіемъ — начертательной геометріей, которая представляетъ необходимое дополненіе аналитической геометріи Декарта и которая, подобно ей, должна была принести неисчислимые результаты и отмѣтить новую эпоху въ исторіи геометріи.

Этою наукой мы обязаны творческому генію Монжа.

Она обнимаетъ собою двѣ задачи.

Вопервыхъ, задачу — представать на плоскости всякое тѣло опредѣленной формы и такимъ образомъ привести къ построеніямъ на плоскости такія графическія операціи, которыя были бы невыполнимы въ пространствѣ.

Вовторыхъ, задачу — вывести изъ этого представленія тѣлъ математическія соотношенія между ихъ формами и взаимными положеніями.

Это прекрасное изобрѣтеніе назначалось первоначально для практической геометріи и для зависящихъ отъ нея искусствъ; дѣйствительно, начертательная геометрія представляетъ общую теорію ихъ и приводитъ къ небольшому числу отвлеченныхъ и неизмѣнныхъ принциповъ и къ удобнымъ и всегда вѣрнымъ построеніямъ — всѣ геометрическія дѣйствія, представляющіяся при обдѣлкѣ камней и дерева, въ перспективѣ, фортификаціи, гномоникѣ и т. д.; — дѣйствія [218]которыя, до тѣхъ поръ выполнялись помощію способовъ безсвязныхъ, ненадежныхъ и часто недостаточно строгихъ. (См. Примѣчаніе XXIII).

2. Но кромѣ важности этого перваго назначенія, благодаря которому раціональность и точность внесены въ искусства, начертательная геометрія имѣетъ другое важное значеніе, именно для чистой геометріи, и вообще для наукъ математическихъ, которымъ она оказала существенныя услуги во многихъ отношеніяхъ.

Начертательная геометрія, будучи графическимъ переводомъ общей раціональной геометріи, послужила свѣточемъ при изысканіи и истолкованіи результатовъ геометріи аналитической; по характеру своихъ пріемовъ, имѣющихъ цѣлію установить строгое и полное соотношеніе между фигурами, дѣйствительно начерченными на плоскости, и тѣлами воображаемыми въ пространствѣ, она ближе ознакомила съ геометрическими формами; она дала возможность представлять ихъ скоро и точно и тѣмъ удвоила наши средства изслѣдованія въ наукѣ о пространствѣ.

Благодаря этому, геометрія получила возможность еще легче вносить свойственную ей общность и очевидность также и въ механику и въ другія физико-математическія науки.

Полезное вліяніе начертательной геометріи распространилось естественнымъ образомъ и на нашъ математическій языкъ: онъ сдѣлался удобнѣе и яснѣе, освободившись отъ осложненныхъ фигуръ, отвлекавшихъ вниманіе отъ сущности дѣла и отягощавшихъ воображеніе и изложеніе.

Однимъ словомъ, начертательная геометрія подкрѣпила и развила нашу способность къ представленію; сообщила болѣе вѣрности и ясности нашимъ сужденіямъ, болѣе точности и чистоты нашему языку; въ первомъ отношеніи она была неизмѣримо полезна для наукъ математическихъ вообще.

3. Разсматривая въ частности начертательную геометрію только какъ геометрическій способъ, мы опять находимъ, что она принесла чрезвычайную пользу наукѣ о пространствѣ. [219]По своимъ основнымъ положеніямъ и по тѣмъ постояннымъ соотношеніямъ, которыя она устанавливаетъ между плоскими фигурами и фигурами трехъ измѣреній, она является способомъ изысканія и доказательства для раціональной геометріи; по своимъ пріемамъ, представляющимъ для практической геометріи тоже, что ариѳметика для вычисленій, она даетъ средства къ рѣшенію a priori такихъ вопросовъ, въ которыхъ геометрія Декарта, столь могущественная при другихъ обстоятельствахъ, останавливается передъ преградами встрѣчаемыми алгеброй.

4. Въ Traité de Géométrie descriptive Монжъ далъ первые примѣры той пользы, которую можно извлечь изъ тѣснаго и систематическаго сближенія между фигурами двухъ и трехъ измѣреній. Подобными соображеніями онъ съ рѣдкимъ изяществомъ и совершенною очевидностію доказалъ прекрасныя теоремы, составляющія теорію полюсовъ кривыхъ линій второго порядка, свойство центровъ подобія трехъ круговъ лежать по три на прямыхъ линіяхъ и различныя другія предложенія геометріи на плоскости.

Послѣ того ученики Монжа съ успѣхомъ развивали эту совершенно новаго рода геометрію, которую часто и по справедливости называютъ именемъ школы Монжа и которая, какъ мы сказали, состоитъ въ примѣненіи плоской геометріи къ изслѣдованіямъ въ геометріи трехъ измѣреній.

Открытія, сдѣланныя этимъ путемъ, весьма многочисленны; изложеніе ихъ представило бы безъ сомнѣнія весьма интересную страницу въ исторіи геометріи; мы не можемъ сдѣлать здѣсь этого, не можемъ войти во многія подробности, которыя черезъ мѣру увеличили бы это сочиненіе.[1] [220] 5. Пріемъ, помощію котораго Монжъ преобразовывалъ фигуры трехъ измѣреній въ фигуры на плоскости, т. е. прямоугольное проложеніе на двѣ перпендикулярныя плоскости, которыя потомъ совмѣщаются, — даетъ способъ открывать множество предложеній плоской геометріи о фигурахъ происходящихъ отъ совокупности обѣихъ проэкцій. Нѣтъ чертежа (эпюра, épure) въ начертательной геометріи, который не выражалъ бы какой-нибудь теоремы геометріи на плоскости. Въ большую часть такихъ теоремъ входятъ параллельныя между собою линіи, перпендикулярныя къ прямой, означающей пересѣченіе двухъ плоскостей; но посредствомъ перспективнаго проложенія фигуры на другую плоскость можно сдѣлать эти линіи сходящимися въ одной точкѣ и сообщить теоремѣ полную общность.

Это, какъ мы уже сказали, есть весьма богатое средство доказывать множество предложеній плоской геометріи совершенно новымъ и особымъ путемъ. Напримѣръ этимъ способомъ можно доказать, если не всѣ, то большую часть теоремъ теоріи трансверсалей и большую часть неисчислимыхъ свойствъ коническихъ сѣченіи.

Возьмемъ для примѣра чертежъ, съ помощію котораго опредѣляется точка пересѣченія трехъ плоскостей; эта точка находится въ пересѣченіи трехъ прямыхъ, по которымъ плоскости пересѣкаются между собою попарно; поэтому проэкціи этихъ трехъ прямыхъ на двѣ плоскости проэкцій проходятъ черезъ одну точку; отсюда получается очевидно слѣдующая теорема.

Представимъ себѣ на плоскости два треугольника, которыхъ стороны встрѣчаются попарно въ трехъ точкахъ, лежащихъ на одной прямой ; черезъ произвольную точку проведемъ три прямыя къ вершинамъ перваго треугольника [221]и продолжимъ ихъ до пересѣченія въ трехъ точкахъ съ прямою ; потомъ три послѣднія точки соединимъ соотвѣтственно съ вершинами втораго треугольника: три такія прямыя пройдутъ черезъ одну точку.

Эта теорема даетъ множество слѣдствій; мы ограничимся замѣчаніемъ, что изъ нея, какъ слѣдствіе, получается теорема Дезарга, о которой мы уже говорили (вторая эпоха, n° 28); для этого достаточно взять произвольную точку въ пересѣченіи двухъ прямыхъ, соединяющихъ вершины перваго треугольника съ соотвѣтственными вершинами втораго.

Чертежъ, помощію котораго строятся слѣды плоскости, проходящей черезъ три данныя точки, ведетъ къ другой подобной же теоремѣ и изъ нея, какъ слѣдствіе, проистекаетъ теорема взаимная Дезарговой.

6. Этотъ способъ съ такою же простотою ведетъ къ свойствамъ коническихъ сѣченій и даже кривыхъ какой угодно степени.

Такъ напримѣръ, представимъ себѣ коническое сѣченіе на горизонтальной плоскости, какъ основаніе цилиндра съ извѣстнымъ направленіемъ образующихъ; построимъ слѣдъ этого цилиндра на вертикальной плоскости и потомъ сдѣлаемъ перспективу всего чертежа на какую нибудь плоскость; мы получимъ фигуру, которая представляетъ черченіе по одному произвольному коническому сѣченію другаго коническаго сѣченія при помощи пересѣченій прямыхъ, исходящихъ изъ двухъ неподвижныхъ точекъ.

Если вмѣсто перваго коническаго сѣченія возьмемъ кривую какой угодно степени, то получимъ другую кривую той же степени.

Итакъ, здѣсь мы имѣемъ способъ для преобразованія на плоскости какой угодно кривой въ другую кривую того же порядка.

Ясно, что касательныя ко второй кривой опредѣляются при помощи касательныхъ къ первой; касательныя эти пересѣкаются попарно въ точкахъ одной прямой, именно прямой [222]пересѣченія двухъ плоскостей проэкцій. Такимъ образомъ получается теорема, относящаяся къ кривымъ какого угодно класса.

Для втораго примѣра возьмемъ вертикальный цилиндръ, имѣющій основаніемъ коническое сѣченіе въ горизонтальной плоскости, пересѣчемъ его произвольною плоскостью и построимъ вертикальную проэкцію кривой сѣченія: это будетъ новое коническое сѣченіе. Касательныя къ этимъ двумъ кривымъ, будучи проэкціями касательныхъ къ кривой пересѣченія цилиндра съ плоскостію, соотвѣтствуютъ другъ другу попарно; если съ помощію этихъ проэкцій будемъ отыскивать точки встрѣчи касательныхъ въ пространствѣ съ одною изъ плоскостей проэкцій, то найдемъ, что точки эти лежатъ на прямой, именно на слѣдѣ сѣкущей плоскости на плокости проэкцій. Это обстоятельство ведетъ къ общему свойству двухъ коническихъ сѣченій, представляющихъ проэкціи коническаго сѣченія въ пространствѣ. Сдѣлавъ перспективу чертежа на какую-нибудь плоскость, получимъ слѣдующее общее свойство двухъ какихъ угодно коническихъ сѣченій.

Если черезъ точку встрѣчи двухъ общихъ касательныхъ къ двумъ какимъ угодно коническимъ сѣченіямъ на плоскости проведемъ произвольно сѣкущую, которая встрѣтитъ каждую изъ кривыхъ въ двухъ точкахъ, и если въ этихъ точкахъ проведемъ къ кривымъ касательныя, то касательныя къ первой кривой будутъ встрѣчаться съ касательными ко второй въ четырехъ точкахъ, расположенныхъ попарно на двухъ постоянныхъ прямыхъ, положеніе которыхъ не зависитъ отъ положенія сѣкущей, проводимой черезъ точку пересѣченія общихъ касательныхъ къ двумъ коническимъ сѣченіямъ.

Эта важная въ теоріи коническихъ сѣченій теорема можетъ быть доказана также и другими различными соображеніями, почерпнутыми изъ геометріи трехъ измѣреній; такъ напримѣръ, если черезъ коническое сѣченіе проведемъ два конуса, имѣющіе вершины въ двухъ какихъ-нибудь точкахъ пространства, [223]то вторая кривая пересѣченія этихъ конусовъ, будетъ другое коническое сѣченіе. Не трудно усмотрѣть соотношеніе между такими двумя кривыми, размѣщенными въ пространствѣ на двухъ конусахъ. Если послѣ этого составимъ чертежъ, представляющій проложеніе втораго коническаго сѣченія на плоскость перваго, то получимъ систему двухъ коническихъ сѣченій на плоскости и всѣ соотношенія между кривыми въ пространствѣ приведутъ къ любопытнымъ свойствамъ этого чертежа; въ числѣ ихъ находится и изложенная выше теорема.

7. Этихъ примѣровъ достаточно, чтобы видѣть, какъ каждый чертежъ начертательной геометріи можетъ выражать собою теорему геометріи на плоскости, и можно кажется сказать, что этотъ путь открываетъ богатый запасъ геометрическихъ истинъ. Съ такой точки зрѣнія начертательная геометрія Монжа является методомъ раціональной геометріи. Мы назовемъ его Méthode de Transmutation des figures.

Кромѣ этого превращенія свойствъ фигуръ трехъ измѣреній въ свойства плоскихъ фигуръ мы должны еще указать на другое особое примѣненіе начертательной геометріи, именно на то, что она ведетъ къ безконечному множеству способовъ преобразовывать плоскія фигуры однѣ въ другія, подобно тому, какъ это дѣлали Де-Лагиръ и Ньютонъ. Отсюда между прочимъ проистекаетъ возможность безконечно разнообразно достигать цѣли, которую имѣлъ съ виду Де-Лагиръ, именно — чертить помощію циркуля различныя коническія сѣченія и такимъ образомъ приводить къ плоскости перспективныя построенія. Въ самомъ дѣлѣ, для этого достаточно вообразить себѣ конусъ съ круговымъ основаніемъ и съ вершиною въ какой нибудь точкѣ пространства; затѣмъ пересѣчь этотъ конусъ произвольною плоскостью: въ пересѣченіи получимъ коническое сѣченіе, каждая проэкція котораго можетъ быть разсматриваема, какъ преобразованіе проэкціи основанія конуса; такъ какъ эта преобразованная кривая можетъ быть получена посредствомъ построеній на плоскости, то цѣль Де-Лагира такимъ образомъ достигнута. [224]

Принимая въ соображеніе неопредѣленность различныхъ данныхъ въ этой задачѣ, мы найдемъ, что общее рѣшеніе ея ведетъ ко множеству разнообразныхъ способовъ и пріемовъ для рѣшенія задачи Де-Лагира.

8. Наукою уже признана за Монжемъ та заслуга, что онъ ознакомилъ насъ ближе съ геометріей трехъ измѣреній и научилъ переходить отъ нея къ плоской геометріи и наоборотъ; но не вполнѣ еще признана важность, заключающаяся въ томъ особомъ способѣ доказательствъ, примѣры котораго мы привели выше; это частію зависитъ отъ того, что получаемыя такимъ путемъ геометрическія истины были въ свое время совершенно новы, частію же отъ того, что это были только первые примѣры особаго превращенія (transmutation) фигуръ трехъ измѣреній въ плоскія и наоборотъ. Успѣхи единственнаго употреблявшагося до тѣхъ поръ способа преобразованія фигуръ, именно перспективы, — способа, которымъ такъ удачно пользовался Паскаль и помощію котораго Де-Лагиръ привелъ всѣ геометрическія операціи къ построеніямъ на плоскости, — были такого рода, что ими объясняется предпочтеніе предъ всякими другими преобразованіями, какъ въ пространствѣ, такъ и на плоскости.

Но, если мы обратимся къ алгебрѣ и будемъ искать причины ея необыкновенной пользы для геометріи, то развѣ мы не увидимъ, что алгебра обязана значительною долею этой пользы именно удобству тѣхъ преобразованій, которымъ подвергаются въ ней введенныя первоначально выраженія? Тайна и механизмъ этихъ преобразованій и составляютъ сущность этой науки и постоянный предметъ изысканій для математиковъ. Весьма естественно стараться ввести и въ чистую геометрію подобныя же преобразованія, основывающіяся непосредственно на свойствахъ и соотношеніяхъ данныхъ фигуръ.

Яснымъ доказательствомъ пользы геометрическихъ преобразованій служитъ теорія стереографической проэкціи, благодаря которой самыя простыя и очевидныя свойства системы плоскихъ кривыхъ, начерченныхъ на поверхности [225]втораго порядка, прилагаются къ системѣ подобныхъ и подобно расположенныхъ коническихъ сѣченій (включая сюда прямую линію и точку). Къ такимъ же преобразованіямъ относятся различные способы, основывающіеся, какъ мы покажемъ, на двухъ общихъ геометрическихъ началахъ, именно на началахъ двойственности и гомографіи фигуръ.

Подобнаго рода способы, полезность которыхъ, намъ кажется, достаточно доказана, заслуживаютъ изученія и геометры, которые занялись бы этимъ предметомъ, оцѣнили бы, если мы не ошибаемся, философскую важность преобразованія лучше, чѣмъ мы въ настоящей попыткѣ уяснить ее, основываясь на способахъ Начертательной Геометріи Монжа.

9. Перспективная Геометрія Кузинери. Ученія Монжа уже вызвали одинъ трудъ подобнаго рода, о которомъ мы теперь имѣемъ случай сказать нѣсколько словъ, отступая отъ хронологическаго порядка. Это Géométrie perspective de Cousinery (in 4°, 1828), отличающаяся отъ пріемовъ Монжа тѣмъ, что авторъ употребляетъ только одну проэкцію, или перспектив), на плоскости.

Всякая плоскость, каково бы ни было ея положеніе въ пространствѣ, опредѣляется на чертежѣ (épure) двумя параллельными прямыми, изъ которыхъ одна есть пересѣченіе этой плоскости съ плоскостью чертежа, a вторая есть пересѣченіе плоскости чертежа съ плоскостію параллельною, первой и проведенною черезъ глазъ, т.-е. черезъ центръ, изъ котораго проводятся проэктирующія линіи. Подобнымъ же образомъ прямая линія обозначается двумя точками, одна изъ которыхъ есть пересѣченіе прямой съ плоскостью проэкціи, a другая пересѣченіе съ тою же плоскостью прямой, проходящей черезъ глазъ параллельно первой прямой. Чтобы опредѣлить точку, нужно знать двѣ прямыя линіи, пересѣкающіяся въ этой точкѣ; одна изъ этихъ прямыхъ можетъ быть проведена черезъ глазъ и, слѣдовательно, изображаться въ перспективѣ одною точкой. Пріемъ этотъ очень простъ и остроуменъ; чертежи, къ которымъ онъ ведетъ, не особенно [226]сложны и подобно чертежамъ начертательной геометріи Монжа, способны выражать собою различныя теоремы, какъ это и доказалъ Кузинери.

Не останавливаясь на практической пользѣ, которую можетъ принести этотъ способъ въ качествѣ вспомогательнаго средства въ строительномъ искусствѣ, подобно начертательной геометріи Монжа, мы смотримъ на него, какъ на способъ изысканія и доказательства множества геометрическихъ истинъ, и въ этомъ отношеніи онъ, по нашему мнѣнію, заслуживаетъ вниманія любителей геометріи. Кузинери ограничился немногими примѣрами, имѣя только въ виду достаточно уяснить пользу своего пріема; такимъ образомъ онъ открылъ новое поле для геометрическихъ изысканій, на которомъ послѣ него можно еще навѣрное собрать богатую жатву.

10. Новый способъ доказательства. По поводу начертательной геометріи Монжа намъ остается еще сказать о вліяніи, которое она имѣла на геометрію, введя новый способъ для доказательствъ — способъ, который былъ отвергнутъ древними, какъ несогласный съ ихъ строгими началами, но который въ рукахъ Монжа и геометровъ его школы привелъ къ самымъ счастливымъ результатамъ.

Сущность этого способа можно выразить слѣдующими словами: «Для облегченія доказательства, фигура, на которой изслѣдуется какое-нибудь общее свойство, разсматривается при такомъ состояніи ея общаго построенія, при которомъ существуютъ извѣстныя точки, плоскости, или линіи, которыя при другихъ состояніяхъ дѣлаются мнимыми. Доказанная такимъ образомъ теорема распространяется потомъ и на тѣ случаи, когда сказанныя точки, плоскости и линіи становятся мнимыми, т.-е. теорема признается справедливою при всѣхъ обстоятельствахъ построенія, какія только можетъ представлять разсматриваемая фигура.» Геометрія Монжа даетъ много прекрасныхъ примѣровъ такого пріема.

Такъ напримѣръ, при доказательствѣ, что для конусовъ, описанныхъ около поверхности втораго порядка и имѣющихъ [227]вершины на одной прямой, плоскости кривыхъ прикосновенія проходятъ черезъ одну прямую линію, Монжъ предполагаетъ, что черезъ прямую, на которой расположены вершины конусовъ, могутъ быть проведены къ поверхности двѣ касательныя плоскости. Въ такомъ случаѣ всѣ кривыя прикосновенія пройдутъ черезъ точки касанія этихъ плоскостей и плоскости кривыхъ будутъ слѣдовательно проходить черезъ прямую соединяющую эти точки касанія. Теорема такимъ образомъ доказана при сказанномъ положеніи фигуры; Монжъ говоритъ, что предложеніе распространяется и на тотъ случай, когда черезъ прямую, представляющую геометрическое мѣсто вершинъ конусовъ, нельзя провести касательныхъ плоскостей по поверхности; другими словами — что теорема имѣетъ мѣсто при всякомъ положеніи этой прямой.

Основаніемъ этого пріема Монжа должно служить, какъ намъ кажется, замѣчаніе, что общее построеніе фигуры можетъ представлять два различные случая: въ первомъ дѣйствительно существуютъ и распознаются нѣкоторыя величины (точки, линіи, плоскости или поверхности), отъ которыхъ общее построеніе не находится въ необходимой зависимости, но которыя составляютъ только случайныя слѣдствія его (conséquences contingentes); во второмъ случаѣ этихъ величинъ болѣе нѣтъ, онѣ становятся мнимыми, но общія условія построенія остаются тѣ же самыя.

Если, напримѣръ, мы хотимъ представить себѣ поверхность втораго порядка и прямую линію, которыя находились бы въ самомъ общемъ положеніи одна относительно другой, то при этомъ возможны два случая: прямая или проникаетъ въ поверхность, или не пересѣкается съ нею. Оба случая представляютъ одинаковую общность, такъ какъ въ каждомъ изъ нихъ прямая проводится совершенно произвольно и независимо отъ даннаго положенія поверхности втораго порядка; случаи эти отличаются только тѣмъ, что двѣ точки пересѣченія прямой съ поверхностію въ первомъ случаѣ дѣйствительныя, a во второмъ — мнимыя. Мы говоримъ поэтому, [228]что точки пересѣченія представляютъ случайныя соотношенія (relations contingentes) между прямою и поверхностію.

Нѣтъ надобности подробно разъяснять, что здѣсь мы говоримъ совсѣмъ не о тѣхъ особенностяхъ въ построеніи фигуръ, которыя обозначаются названіемъ частныхъ случаевъ (cas particuliers) и которыя получаются, когда нѣкоторыя точки, линіи, или поверхности, совпадаютъ. Такъ, мы имѣли бы частный случай въ предыдущемъ примѣрѣ, еслибы взяли прямую, касающуюся поверхности втораго порядка; теоремы, доказанныя для такого случая, нельзя разсматривать, какъ необходимо распространяющіяся на всѣ случаи общаго построенія.

11. Пріемъ, о которомъ мы говоримъ, явился, кажется, въ первый разъ въ прекрасныхъ примѣрахъ, предложенныхъ Монжемъ въ его Начертательной Геометрія. Потомъ этому пріему слѣдовала большая часть учениковъ Монжа, но всегда, какъ и самъ Монжъ, молча, т.-е. не входя въ объясненія, подобныя тѣмъ, которыя мы изложили выше, и не пытаясь подтвердить этотъ смѣлый способъ разсужденія.

Начало непрерывности. Изысканіе такого рода, вполнѣ заслуживающее основательнаго обсужденія, предпринято было только въ послѣднее время Понселе въ связи съ другими важными вопросами раціональной геометріи. Этотъ ученый геометръ высказалъ свое начало непрерывности въ Traité des propriétés projectives; оно имъ развито и съ успѣхомъ употреблено въ приложеніяхъ; но, намъ кажется, другіе ученые должны считать это начало, за недостаткомъ строгаго доказательства, только сильнымъ наведеніемъ и превосходнымъ средствомъ для предугадыванія и открытія истинъ — средствомъ, которое однако не замѣняетъ собою непосредственно и во всѣхъ случаяхъ строгаго доказательства.

Нельзя не согласиться, что еслибы геометры, пользующіеся способомъ Монжа, или началомъ непрерывности, обязаны [229]были всякій разъ доказывать этотъ пріемъ чисто геометрическими соображеніями, основанными на признанныхъ уже и a priori доказанныхъ положеніяхъ, то всѣ извѣстныя до сихъ поръ средства могли бы оказаться недостаточными. Если путь, которому они слѣдуютъ за Монжемъ всегда оказывался вѣрнымъ и не оставлялъ въ ихъ умѣ никакой неясности, то подобное довѣріе, по моему мнѣнію, основывается на сознаніи непогрѣшимости, которое въ нихъ вызвано алгебраическимъ анализомъ.

12. Доказательство способа Монжа. И дѣйствительно, мы думаемъ, что во всякомъ отдѣльномъ случаѣ пріемъ этотъ можетъ быть подтвержденъ разсужденіями, основанными на общихъ началахъ анализа.

Достаточно замѣтить, что различіе двухъ общихъ случаевъ построенія фигуры, о которыхъ мы говорили выше и которые для насъ важны, такъ какъ въ нихъ заключается по нашему мнѣнію сущность занимающаго насъ вопроса, — никогда не разсматривается при приложеніи конечнаго анализа къ геометріи. Получаемые результаты примѣняются во всей силѣ къ обоимъ общимъ случаямъ. Этими результатами выражается теорема, относящаяся къ существеннымъ и постояннымъ частямъ фигуры (parties intégrantes et permanentes), принадлежащимъ общему построенію и равно дѣйствительнымъ въ обоихъ случаяхъ: эта теорема совершенно независима отъ второстепенныхъ или случайныхъ частей фигуры (parties secondaires, ou contingentes et accidentelles), которыя могутъ быть безразлично дѣйствительными, или мнимыми, не измѣняя этимъ общихъ условій построенія.

И потому, если такіе общіе результаты доказаны для однаго изъ двухъ общихъ состояній фигуры, то мы имѣемъ право заключить, что они имѣютъ мѣсто и для другаго состоянія.

Подобное подтвержденіе пріема Монжа, которое можно разсматривать, какъ доказательство a posteriori закона непрерывности, можетъ представлять въ геометріи такія же [230]исключенія, какія этотъ законъ представляетъ въ другихъ случаяхъ; эти исключенія будутъ совершенно тѣ же, какія встрѣчаются въ самомъ анализѣ. Слѣдуетъ, напримѣръ, быть весьма осторожнымъ, примѣняя этотъ законъ къ изысканіямъ, въ которыхъ при аналитическомъ выраженіи общихъ условій построенія оказывались бы перемѣнными какія-либо величины, кромѣ величинъ и знаковъ коэффиціентовъ при перемѣнныхъ величинахъ; напримѣръ, еслибы мѣнялись знаки показателей у перемѣнныхъ[2]. Нельзя также прилагать этотъ пріемъ къ вопросамъ, которые при аналитическомъ изслѣдованіи приводятъ къ опредѣленнымъ интеграламъ, потому что тогда простая перемѣна знака, составляющая различіе между двумя общими состояніями фигуры, могла бы совершенно измѣнить результаты, данные анализомъ.

Но во всѣхъ геометрическихъ вопросахъ, требующихъ пособія только конечнаго анализа, приложеніе котораго указывается ученіемъ Декарта, мы можемъ имѣть полное довѣріе къ пріему Монжа. Если, напримѣръ, мы разсматриваемъ въ пространствѣ конусъ втораго порядка и сѣкущую плоскость, имѣющую относительно конуса какое угодно положеніе, то существуетъ два различныя положенія плоскости, удовлетворяющихъ въ одинаковой степени условію совершенной общности. Въ одномъ положеніи плоскость пересѣкаетъ конусъ по гиперболѣ, къ которой мы можемъ провести двѣ асимптоты; во второмъ положеніи пересѣченіе происходитъ по эллипсу; и двѣ прямыя, которыя въ первомъ случаѣ были асимптотами гиперболы, становятся во второмъ случаѣ мнимыми. Но тѣмъ не менѣе всякое общее свойство первой фигуры, если оно даже выведено при помощи асимптотъ, будетъ принадлежать и второй фигурѣ; предполагая при этомъ конечно, что выведенное свойство не относится прямо [231]или скрытымъ образомъ (implicite) къ асимптотамъ, такъ какъ въ послѣднемъ случаѣ свойство это не было бы общимъ, независимымъ отъ тѣхъ обстоятельствъ построенія, вслѣдствіе которыхъ асимптоты становятся дѣйствительными или мнимыми.

Сказанное о эллипсѣ и гиперболѣ не можетъ быть примѣняемо къ параболѣ, такъ какъ положеніе сѣкущей плоскости, при которомъ на конусѣ получается эта кривая, есть особое a не совершенно общее. Поэтому свойство параболы, доказанное на такой фигурѣ, не можетъ распространяться на основаніи одного только принципа Монжа на эллипсъ или гиперболу, такъ какъ оно основывается на частномъ положеніи плоскости относительно конуса.

13. Подобныя же разсужденія примѣняются къ поверхностямъ втораго порядка. Поверхности эти съ извѣстной точки зрѣнія можно раздѣлить на два класса: одна изъ нихъ (гиперболоидъ съ одною полостью) прикасается къ касательной плоскости по двумъ прямымъ, которыя всѣми точками лежатъ на поверхности; въ двухъ другихъ поверхностяхъ (въ эллипсоидѣ и въ гиперболоидѣ съ двумя полостями) эти прямыя — мнимыя. Всякое общее свойство гиперболоида съ одною полостью, доказанное при помощи этихъ прямыхъ, но въ выраженіи котораго онѣ не входятъ явнымъ, или скрытымъ образомъ, будетъ принадлежать также и двумъ другимъ поверхностямъ.

Если напримѣръ мы хотимъ доказать двѣ теоремы, служащія основаніемъ теоріи стереографической проэкціи, то начинаемъ съ гиперболоида съ одною полостью, для котораго эти теоремы очевидны, благодаря помощи двухъ прямыхъ, проходящихъ чрезъ всякую точку по его поверхности; отсюда мы заключаемъ прямо и съ совершенною увѣренностію, что тѣ же теоремы имѣютъ мѣсто для всѣхъ поверхностей втораго порядка.

Но, если бы мы вмѣсто гиперболоида съ одною полостью, представляющаго поверхность столь же общаго построенія, [232]какъ эллипсоидъ и гиперболоидъ съ двумя полостями, доказали эти теоремы для шара, то мы не могли бы распространить ихъ на всѣ поверхности втораго порядка помощію одного только способа Монжа, потому что шаръ есть частный, a не общій, видъ такихъ поверхностей.

14. Способъ обобщенія. Но мы должны прибавить, что посредствомъ другаго способа можно распространять на эллипсоидъ общія свойства шара; эти свойства, при помощи пріема Монжа, дѣлаются затѣмъ общими свойствами всѣхъ поверхностей втораго порядка. Этотъ аналитическій способъ преобразованія изложенъ нами въ Correspondance polytechnique (t. III, p. 326); онъ состоитъ въ пропорціональномъ измѣненіи координатъ точекъ сферической поверхности. Этотъ же способъ мы употребляли для преобразованія свойствъ, относящихся къ проэкціямъ и къ объемамъ тѣлъ; его же потомъ прилагали мы къ изысканіямъ о длинѣ кривыхъ линій, и о площадяхъ кривыхъ поверхностей. Наконецъ мы обобщили этотъ способъ, приспособивъ его къ распространенію свойствъ параболоида на гиперболоидъ, также какъ свойства шара распространяются на эллипсоидъ. Но такъ какъ способъ этотъ заключается какъ частный случай въ нашемъ общемъ началѣ гомографическаго преобразованія, то мы и не будемъ болѣе останавливаться на его приложеніяхъ и на доказательствахъ его пользы.

Укажемъ только на существенное различіе, которое существуетъ между этимъ способомъ и пріемомъ изложеннымъ выше, хотя оба эти способа ведутъ къ обобщенію первоначальнаго результата.

Второй изъ изложенныхъ способовъ преобразованія есть дѣйствительно способъ обобщенія, въ которомъ свойства частной фигуры распространяются на фигуры совершенно общаго построенія. Въ первомъ же способѣ, основывающемся на началѣ случайныхъ соотношеній, мы имѣемъ дѣло съ свойствами совершенно общей фигуры и переносимъ ихъ на фигуру столь же общую, отличающуюся отъ прежней [233]только второстепенными и случайными обстоятельствами, которыя хотя и служили для доказательства, но въ результатѣ исчезаютъ и не имѣютъ ни явно, ни скрытнымъ образомъ, никакого значенія въ выраженіи того предложенія, для доказательства котораго употреблялись.

15. Способъ Монжа заслуживаетъ по нашему мнѣнію, болѣе чѣмъ всякій другой, названія нагляднаго способа, такъ какъ онъ дѣйствительно основывается на ясномъ, наглядномъ, разсмотрѣніи предмета. Но этотъ характеръ наглядности свойственъ вообще всѣмъ способамъ, основывающимся на непосредственномъ разсмотрѣніи пространственныхъ формъ, въ особенности тѣмъ изъ нихъ, въ которыхъ разсматриваются фигуры трехъ измѣреній для вывода свойствъ плоскихъ фигуръ. Названіе нагляднаго способа, свойственное пріемамъ Монжа вообще, не характеризуетъ впрочемъ того пріема, помощію котораго свойства одной общей фигуры распространяются на другую столь же общую фигуру. Намъ кажется, что это вполнѣ достигается названіемъ способа или начала случайныхъ соотношеній (principe des relations contingentes).

Это названіе мы предпочитаемъ названію начало непрерывности, такъ какъ послѣднее заключаетъ въ себѣ идею о безконечности, которой вовсе нѣтъ въ способѣ случайныхъ соотношеній. Мы разовьемъ подробнѣе эту мысль въ Примѣчаніи XXIV.

Можно бы привести много примѣровъ на изслѣдованія, въ которыхъ примѣнялось начало случайныхъ соотношеній; но мы напали на новую задачу, на которой особенно удачно можно обнаружить примѣненіе и пользу этого начала; это именно — задача о нахожденіи по величинѣ и направленію трехъ главныхъ осей эллипсоида, когда даны три его сопряженные діаметра. Едва ли эта задача можетъ быть такъ легко рѣшена какимъ бы то ни было другимъ путемъ. (См. Примѣчаніи XXV).

16. Можетъ быть когда нибудь начало случайныхъ соотношеній будетъ сведено къ нѣкоторому метафизическому [234]принципу о пространствѣ, находящемуся въ связи съ идеей однородности, подобно тому, какъ введены уже такіе принципы въ наукахъ естественныхъ, особенно въ ученіи объ организованныхъ тѣлахъ. Уже и теперь можно замѣтить близость начала случайныхъ соотношеній къ нѣкоторому общему принципу двойственности, обнаруживающемуся во всѣхъ тѣлахъ, гдѣ только можно подмѣтить элементы двоякаго рода: постоянные и измѣняемые, покой и движеніе.

Но и до тѣхъ поръ, пока будетъ найдено доказательство начала случайныхъ соотношеній a priori, мы можемъ, кажется, посредствомъ указанныхъ выше аналитическихъ пріемовъ, подтвердить его достаточно, чтобы безъ колебанія пользоваться имъ.

Во всякомъ случаѣ для успѣховъ чистой геометріи было бы весьма выгодно, еслибы не всѣ геометры отказывались окончательно отъ строгихъ началъ древней геометріи и въ то время, какъ одни съ довѣріемъ къ легкимъ пріемамъ Монжа обогащаютъ науку новыми истинами, другіе старались бы доказать эти истины инымъ, совершенно строгимъ путемъ. Такое сотрудничество и такое двоякое направленіе были бы очень полезны для геометріи и способствовали бы обогащенію ея новыми началами и установленію ея истинной метафизики. Дѣйствительно, открывъ какую-нибудь истину посредствомъ способа Монжа, способа, который въ извѣстномъ смыслѣ можно считать поверхностнымъ и въ которомъ мы разсматриваемъ и употребляемъ въ дѣло внѣшнія и наглядныя, но случайныя и измѣняющіяся обстоятельства, — мы должны для установленія этой истинны на неизмѣнныхъ и независимыхъ отъ случайныхъ обстоятельствъ началахъ, обратиться къ самой сущности предмета и, не ограничиваясь уже, какъ Монжъ, второстепенными и случайными свойствами, полезными въ нѣкоторыхъ случаяхъ для разъясненія фигуры, принять въ основаніе только существенныя и постоянныя свойства ея. Подъ существенными и постоянными свойствами мы разумѣемъ такія, которыя могутъ служить для разъясненія и построенія фигуры во всѣхъ возможныхъ [235]случаяхъ, — тѣ свойства, которыя мы назвали выше существенными, или главными частями фигуры, тогда какъ второстепенныя или случайныя свойства могутъ при извѣстныхъ состояніяхъ фигуры исчезать и дѣлаться мнимыми.

Теорія круга на плоскости представляетъ примѣръ установленнаго нами различія между случайными и постоянными свойствами фигуры. Въ системѣ двухъ круговъ существуетъ одна прямая линія, имѣющая важное значеніе во всей теоріи круга. Когда два круга пересѣкаются, то эта прямая есть ихъ общая хорда и этого обстоятельства достаточно для изслѣдованія и построенія ея; но это есть именно одно изъ свойствъ, которыя мы назвали случайными. Если два круга не пересѣкаются, то свойство это исчезаетъ, но прямая, не смотря на это, существуетъ, и ея разсмотрѣніе въ высшей степени полезно для теоріи круга. Поэтому мы должны опредѣлить и построить эту прямую на основаніи какого нибудь другаго ея свойства, которое имѣло бы мѣсто при всевозможныхъ состояніяхъ нашей фигуры, т.-е. при всевозможныхъ положеніяхъ двухъ круговъ. Такое свойство будетъ постояннымъ. Руководясь этою мыслію, Готье[3] назвалъ такую прямую не общею хордою, a радикальною осью двухъ круговъ; выраженіе это взято отъ того постояннаго свойства, что касательныя, проведенныя изъ каждой точки этой прямой къ обоимъ кругамъ, равны между собою, такъ что каждая точка ея есть центръ круга, пересѣкающаго данные круги подъ прямыми углами[4]. [236] Познаніе существенныхъ и неизмѣняемыхъ свойствъ, къ изысканію которыхъ мы приходимъ при исчезновеніи свойствъ случайныхъ, весьма важно для усовершенствованія геометрическихъ теорій, потому что чрезъ это достигается возможно большая общность и часто наибольшая степень наглядной очевидности, составляющей главный характеръ школы Монжа.

Такимъ образомъ обстоятельство, что радикальная ось двухъ круговъ въ случаѣ ихъ пересѣченія есть общая хорда, привела Монжа къ доказательству, что радикальныя оси трехъ круговъ, находящихся въ одной плоскости и разсматриваемыхъ какъ діаметральныя сѣченія трехъ шаровъ, должны проходить черезъ одну и ту же точку. Теорема эта не менѣе очевидна, когда примемъ за основаніе найденныя Готье постоянныя свойства радикальныхъ осей. Тогда тотчасъ видимъ, что точкѣ пересѣченія двухъ изъ этихъ осей принадлежитъ характеристическое свойство третьей оси, т.-е. что эта точка лежитъ также и на третьей оси.

17. Мнимыя величины въ геометріи. Ученіе о случайныхъ соотношеніяхъ можетъ, какъ намъ кажется, доставить еще другую выгоду, именно дать удовлетворительное объясненіе слова мнимый, употребляемаго теперь въ чистой геометріи; слово это означаетъ мыслимый, но не существующій предметъ, въ которомъ можно предполагать нѣкоторыя свойства, пользоваться имъ на время какъ пособіемъ и примѣнять къ нему такія же разсужденія, какъ къ предметамъ дѣйствительнымъ и вещественнымъ. Такое понятіе [237]о мнимомъ, кажущееся на первый взглядъ неяснымъ и парадоксальнымъ, получаетъ въ теоріи случайныхъ соотношеній смыслъ ясный, точный и законный. (См. Прим. XXVI). Съ этой точки зрѣнія можно считать небезполезнымъ сдѣланное нами раздѣленіе свойствъ фигуръ съ одной стороны на существенныя или постоянныя, съ другой — на измѣнчивыя, случайныя.

18. Способъ изложенія въ геометріи Монжа. Начертательная геометрія Монжа представляетъ еще неисчерпанный источникъ прекрасныхъ теорій. Мы указали, что въ ней кроются болѣе и менѣе развитые зачатки многихъ пріемовъ, увеличивающихъ могущество геометріи и расширяющихъ ея область; но кромѣ этого мы видимъ въ ней начало новаго способа изложенія этой науки, какъ на письмѣ, такъ и на словахъ. Изложеніе всегда такъ тѣсно связано съ духомъ способовъ, что необходимо совершенствуется вмѣстѣ съ ними, и въ свою очередь оказываетъ могущественное вліяніе на развитіе и общіе успѣхи науки. Это безспорно и не требуетъ доказательствъ.

Геометрія древнихъ испещрена чертежами. Причина этого очень понятна. При отсутствіи общихъ и отвлеченныхъ началъ всякій вопросъ могъ быть изслѣдованъ только въ отдѣльности, на томъ самомъ чертежѣ, который относился къ вопросу и который одинъ могъ указывать элементы, необходимые для рѣшенія или для доказательства. Нельзя было не испытывать неудобствъ подобнаго пріема вслѣдствіе трудности построенія нѣкоторыхъ чертежей и вслѣдствіе ихъ сложности, затруднявшей соображеніе и пониманіе. Указываемое нами неудобство особенно ощутительно въ геометріи трехъ измѣреній, гдѣ чертежи становятся иногда совсѣмъ невозможными.

Это неудобство древней геометріи устраняется самымъ удачнымъ образомъ въ аналитической геометріи и въ этомъ заключается одна изъ ея сравнительныхъ выгодъ. Но отсюда возникалъ далѣе вопросъ, не существуетъ ли также и въ чистой геометріи способовъ разсужденія, не требующихъ [238]безпрерывнаго употребленія чертежей, — употребленія, представляющаго даже при легкомъ построеніи фигуръ существенное неудобство уже потому, что оно утомляетъ умъ и замедляетъ разсужденія.

Этотъ вопросъ разрѣшенъ сочиненіями Монжа и его профессорскою дѣятельностію, пріемы которой сохранены для насъ однимъ изъ самыхъ знаменитыхъ его учениковъ, наслѣдовавшимъ его каѳедру[5]. Благодаря Монжу мы знаемъ, что для этого достаточно теперь, когда начала науки выработались и расширились, пользоваться при геометрическихъ изслѣдованіяхъ и изложеніи ихъ тѣми общими принципами и преобразованіями, которые, подобно тому, какъ въ анализѣ, раскрывая намъ истину въ ея первоначальной чистотѣ и со всевозможныхъ сторонъ, съ особымъ удобствомъ примѣняются къ плодотворнымъ выводамъ, приводящимъ естественнымъ путемъ къ цѣли. Таковъ характеръ ученій Монжа; правда, начертательная геометрія существенно нуждается въ употребленіи чертежей, но это только въ ея приложеніяхъ, гдѣ она играетъ роль пособія. Но никто лучше Монжа не понималъ геометріи безъ чертежей и болѣе его не пользовался ею. Въ Политехнической Школѣ сохраняется преданіе, что Монжъ въ замѣчательной степени обладалъ способностію представлять въ пространствѣ самыя сложныя формы и усматривать ихъ взаимныя соотношенія и самыя скрытыя свойства, прибѣгая при этомъ только къ помощи жестовъ; движеніе его рукъ удивительно помогало изложенію, не всегда быстрому, но всегда проникнутому истиннымъ [239]краснорѣчіемъ, свойственнымъ предмету, т.-е. ясностію и отчетливостію, богатствомъ и глубиною мысли.

19. Вліяніе ученій Монжа на анализъ. На предыдущихъ страницахъ мы старались по мѣрѣ силъ оцѣнить характеръ и размѣръ услугъ, оказанныхъ Монжемъ раціональной геометріи. Намъ слѣдовало бы еще говорить о вліяніи ихъ на аналитическую геометрію и даже вообще на алгебру, какъ теорію отвлеченныхъ величинъ. Но это отклонило бы насъ отъ цѣли настоящаго сочиненія; притомъ было бы слишкомъ смѣло, еслибы мы, ограничивающіеся ролью историка, рѣшились коснуться предмета уже изслѣдованнаго геометромъ, обладающимъ глубокими и разнообразными познаніями во всѣхъ отдѣлахъ математическихъ и философскихъ наукъ[6].

Итакъ, мы ограничимся замѣчаніемъ, что алгебра, уже обязанная геометріи значительными успѣхами съ того времени, когда Декартъ совершилъ сліяніе этихъ двухъ наукъ, нашла въ ней новое пособіе, и притомъ въ высшихъ и труднѣйшихъ частяхъ своихъ, именно въ интегрированіи дифференціальныхъ уравненій со многими перемѣнными, благодаря глубокомысленному сближенію, установленному Монжемъ между ея символическимъ языкомъ и пространственными формами и величинами.

Укажемъ для примѣра на двоякое аналитическое выраженіе нѣкоторыхъ семействъ поверхностей, съ одной стороны посредствомъ дифференціальнаго уравненія, съ другой — посредствомъ конечнаго уравненія съ произвольными функціями, служащаго полнымъ интеграломъ перваго.

Такимъ образомъ аналитическія формулы отнесены были къ видимымъ предметамъ, всѣ части которыхъ находятся въ соотношеніяхъ доступныхъ очевидности, и отсюда понятно, что геометрія могла оказывать могущественное содѣйствіе [240]алгебрѣ; понятно, однимъ словомъ, что Монжъ могъ дѣлать изслѣдованія въ алгебрѣ при помощи геометріи[7].

20. Успѣхи геометрій, вызванные сочиненіями Монжа. Изъ всего сказаннаго выше по поводу чисто геометрическихъ ученій Монжа можно, какъ кажется, заключить, что съ появленіемъ Начертательной Геометріи мгновенно расширилась, какъ по понятіямъ, такъ и по средствамъ, остававшаяся около вѣка въ пренебреженіи чистая геометрія, — наука, прославившая Евклида, Архимеда, Аполлонія, бывшая въ рукахъ Галилея, Кеплера, Паскаля, Гюйгенса единственнымъ орудіемъ при ихъ великихъ открытіяхъ законовъ природы, наконецъ — наука, породившая безсмертные Principia Ньютона.

Понятно, что съ этого времени явилось желаніе и надежда получить раціонально, средствами самой геометріи, тѣ многочисленныя истины, которыми обогатилъ эту науку анализъ Декарта.

Съ этою цѣлію и въ этомъ духѣ были написаны многія сочиненія.

Сочиненія Карно. Прежде всего появились и по своей важности и вліянію заслуживаютъ особаго вниманія сочиненія знаменитаго Карно: Géométrie déposition и Essai sur la théorie des transversales.

Въ исторіи развитія раціональной геометріи эти два сочиненія Карно не должны быть отдѣляемы отъ Начертательной Геометріи Монжа, потому что подобно ей и въ одно съ нею время они явились какъ продолженіе прекрасныхъ методовъ Дезарга и Паскаля и значительно содѣйствовали новымъ теоріямъ и открытіямъ въ геометріи. Изъ того, [241]что мы сказали ранѣе о методахъ Дезарга и Паскаля, уже можно было предвидѣть высказываемое теперь сближеніе между доктринами и сочиненіями четырехъ названныхъ великихъ геометровъ, — сближеніе, которымъ указывается, намъ кажется, истинная связь между идеями, руководившими развитіемъ геометріи.

Считаемъ не лишнимъ прибавить еще нѣсколько словъ, чтобы разъяснить подробнѣе наше мнѣніе объ этомъ предметѣ и оправдать только что высказанное сближеніе.

21. Два рода методовъ въ раціональной геометріи. Фигуры, разсматриваемыя въ геометріи, и ихъ части представляютъ соотношенія двоякаго рода: одни — касаются формы и положенія фигуръ и называются начертательными; другія — относятся къ величинѣ или размѣрамъ фигуръ и называются метрическими.

Положимъ, напримѣръ, что мы вращаемъ сѣкущую въ плоскости коническаго сѣченія около неподвижной точки и при каждомъ ея положеніи проводимъ касательныя къ кривой въ точкахъ ея пересѣченія съ вращающеюся прямою: точки пересѣченія каждой пары касательныхъ будутъ лежать на одной и той же прямой, именно на полярѣ неподвижной точки. Вотъ начертательное свойство коническаго сѣченія и начертательное соотношеніе между точкою и ея полярой.

Если теперь на сѣкущей въ каждомъ ея положеніи опредѣлимъ точку гармонически сопряженную съ неподвижной точкой относительно двухъ точекъ встрѣчи сѣкущей съ кривою, то гармонически сопряженная точка будетъ лежать на полярѣ неподвижной точки. Это — метрическое свойство коническаго сѣченія и метрическое соотношеніе между точкою и ея полярою.

Какъ начертательныя, такъ и метрическія свойства бываютъ въ отдѣльности достаточны для рѣшенія множества вопросовъ. Но всегда полезно, a часто и необходимо, разсматривать въ одно время и тѣ и другія. Наука о пространствѣ [242]должна включать ихъ въ себѣ безразлично; иначе она была бы неполна.

Отсюда ясно вытекаетъ существованіе двухъ методовъ въ раціональной геометріи, или по крайней мѣрѣ двухъ отдѣловъ одного общаго метода: методъ соотношеній начертательныхъ и методъ соотношеній метрическихъ. Дезаргъ, Паскаль, Де-Лагиръ и Ле-Пуавръ употребляли оба метода, т.-е. пользовались и тѣми и другими соотношеніями фигуръ, именно — начертательными при преобразованіяхъ фигуръ посредствомъ перспективы, метрическими же — при частомъ употребленіи гармонической пропорціи, инволюціоннаго соотношенія и другихъ предложеній, относящихся къ теоріи трансверсалей.

Допустивъ такое различіе, мы убѣждаемся, что начертательная геометрія Монжа представляетъ собою чрезвычайно широкое обобщеніе перваго изъ сказанныхъ методовъ, именно метода перспективы, употреблявшагося вышеупомянутыми геометрами для доказательства чисто начертательныхъ свойствъ фигуръ: выше мы показали, что перспектива дѣйствительно можетъ служить для этого употребленія, и, говоря тогда пространно о ея приложеніяхъ къ этого рода вопросамъ, имѣли въ виду оправдать именно теперешнія наши слова.

Что касается теоріи трансверсалей, сперва заключавшейся въ Géométrie de Position, a потомъ изложенной въ особомъ сочиненіи, то мы уже говорили и доказали, что ея основныя начала и многія изъ главныхъ ея предложеній лежали въ основаніи открытій Дезарга и Паскаля; поэтому мы должны смотрѣть на теорію трансверсалей, какъ на развитіе и осуществленіе началъ, которыми пользовались эти два великіе геометра.

Такимъ образомъ можно сказать, что способы Монжа и Карно являются въ раціональной геометріи какъ обобщеніе и непосредственное усовершенствованіе методовъ Дезарга и Паскаля; что это — двѣ отрасли одного общаго метода, имѣющія каждая свои собственныя преимущества, но которыя не должны быть раздѣляемы при всестороннемъ изученіи [243]свойствъ пространства. Напротивъ того, было бы въ высшей степени выгодно развивать ихъ одновременно и, такъ сказать, параллельно; они помогали бы другъ другу и развитіе науки шло бы отъ этого полнѣе и быстрѣе[8]. Монжъ и изъ учениковъ его преимущественно Дюпенъ, авторъ Développements и Applications de Géométrie, дали намъ примѣръ такого соотвѣтствія двухъ методовъ, установивъ соотвѣтствіе между логическими пріемами чистой геометріи и отвлеченнымъ и символическимъ языкомъ алгебры.

22. Мы не можемъ входить здѣсь въ разборъ многочисленныхъ и важныхъ предложеній, которыми изобилуютъ оба сочиненія Карно; ограничимся указаніемъ на прекрасное общее свойство геометрическихъ кривыхъ, какой угодно степени, относительно отрѣзковъ, образуемыхъ такою кривою на сторонахъ многоугольника, лежащаго въ ея плоскости; это свойство представляетъ распространеніе теоріи трансверсалей на кривыя высшихъ порядковъ и изъ него, какъ частный случай, получается третья теорема Ньютона о произведенія отрѣзковъ, образуемыхъ кривою на параллельныхъ сѣкущихъ.

Различныя сочиненія по геометріи. Перейдемъ къ сочиненіямъ, которыя послѣ сочиненій Монжа и Карно [244]были наиболѣе полезны для науки. Таковы по нашему мнѣнію слѣдующія:

Интересный опытъ геометріи линейки подъ заглавіемъ: Solutions peu connues de differens problèmes de Géométrie pratique, de Servois (in—8°, an XII); здѣсь Сервуа соединяетъ важнѣйшія теоремы теоріи трансверсалей и показываетъ примѣненіе ихъ какъ къ раціональной геометріи при доказательствѣ предложеній, такъ и къ геометріи практической при рѣшеніи на поверхности почвы различныхъ задачъ, преимущественно военныхъ.

Développement и Applications de Géométrie de M. Ch. Dupin, гдѣ въ первый разъ изслѣдованы чисто геометрическимъ путемъ трудные вопросы о кривизнѣ поверхностей, для рѣшенія которыхъ Эйлеръ и Монжъ должны были прибѣгать къ высшему анализу.

Eléments de Géométrie à trois dimensions de Hachette (часть синтетическая), гдѣ посредствомъ соображеній чисто-геометрическихъ разрѣшены во всей общности многіе вопросы о касательныхъ и соприкасающихся кругахъ въ кривыхъ линіяхъ, — вопросы, которые до тѣхъ поръ рѣшались только аналитически.

Mémoire sur les lignes du second ordre de Brianchon, гдѣ въ первый разъ изъ знаменитой теоремы Дезарга о инволюціи шести точекъ выведены многочисленныя свойства коническихъ сѣченій.

Mémoire sur l'application de la théorie des transversales того же автора[9]. [245] de Poncelet имѣетъ цѣлію, какъ видно изъ заглавія, изысканіе такихъ свойствъ, которыя сохраняются при преобразованіи фигуръ посредствомъ перспективы; искусно пользуясь тремя могущественными орудіями: началомъ непрерывности, теоріею взаимныхъ поляръ и теоріею гомологическихъ фигуръ двухъ и трехъ измѣреній, ученый авторъ съумѣлъ доказать, безъ одной буквы вычисленія, всѣ извѣстныя свойства линій и поверхностей второго порядка и еще большое число новыхъ, изъ которыхъ многія уже разсматриваются какъ наиболѣе важныя предложенія этой богатой теоріи.

Различные мемуары Жергонна, Кетле, Данделена и другихъ геометровъ, появившіеся въ ученыхъ журналахъ[10], [246]также содѣйствовали развитію науки и обогатили ее драгоцѣнными открытіями.

Примѣчанія.

  1. Геометръ Бріаншонъ одинъ изъ первыхъ замѣтилъ всю важность новаго способа и въ мемуарѣ, напечатанномъ въ 13-й тетради Journal de l'école polytechnique, 1810, представилъ объ этомъ предметѣ новыя и обширныя соображенія, которымъ Понселе, какъ самъ онъ говоритъ, обязанъ первою мыслію тѣхъ прекрасныхъ и многочисленныхъ геометрическихъ изысканій, которыя заключаются въ его Traité des propriétés projectives. Школа Монжа много обязана также Жергонну, который служилъ ей какъ своими собственными трудами, всегда проникнутыми глубокимъ философскимъ взглядомъ, такъ и въ качествѣ издателя Annales de Mathématiques, гдѣ онъ помѣщалъ сочиненія бывшихъ воспитанниковъ политехнической школы.
  2. Подобныя изысканія не могутъ, кажется, встрѣчаться въ геометріи. Два общія состоянія фигуры, служащія основаніемъ пріема Монжа, всегда должны различаться, по нашему мнѣнію, при алгебраическомъ выраженіи только различіемъ знаковъ при независимыхъ коэффиціентахъ.
  3. Journal de l'école polytechnique. 1813. Тетр. 16.
    Прекрасный мемуаръ Готье (Gaultier) заключаетъ въ себѣ первое совершенно общее рѣшеніе задачи о прикосновеніи круговъ и шаровъ; рѣшеніе это позволяетъ предполагать, что круги обращаются въ точки, или прямыя линіи, a шары — въ точки или плоскости.
  4. По причинѣ этого же свойства Штейнеръ назвалъ эту прямую dіе Linie der gleichen Potenzen (См. Journal von Сrelle, t. I и Annales de Gergonne, t. XVII, p. 295).
    Прямая эта обладаетъ, какъ извѣстно, еще многими другими замѣчательными постоянными свойствами, которыя достаточны для ея построенія и которыя могли бы также служить для ея опредѣленія. Если напримѣръ проведемъ кругъ, пересѣкающій оба данные круга, то хорды пересѣченія встрѣчаются на этой прямой.
    Если черезъ изъ одинъ центровъ подобія двухъ круговъ проведемъ сѣкущую и въ точкахъ пересѣченія построимъ касательныя, то касательныя къ первому кругу встрѣтятся съ непараллельными имъ касательными втораго круга въ двухъ точкахъ, лежащихъ на этой же прямой.
    Послѣднее свойство принадлежитъ вообще системѣ двухъ какихъ либо коническихъ сѣченіи въ одной плоскости.
  5. Араго, въ настоящее время безсмѣнный секретарь Академіи Наукъ, тотчасъ по выходѣ изъ школы сдѣланъ былъ адъюнктомъ Монжа и вскорѣ послѣ того профессоромъ. Ученыя замѣтки этого знаменитаго астронома въ Annuaire du bureau des longitudes, имѣющія назначеніемъ популяризацію въ Европѣ трудной науки о физическихъ явленіяхъ, представляютъ также драгоцѣнный образецъ изложенія безъ чертежей, способный въ высшей степени, по нашему мнѣнію, содѣйствовать успѣхамъ геометріи.
  6. Essai historique sur les services et les travaux scientifiques de Gaspard Monge, par. M. Ch. Dupin; p. 199 — 248, ed in—8°.
  7. «Анализъ можетъ пріобрѣсти весьма значительныя выгоды отъ подобныхъ приложеній къ геометріи; и я даю рѣшеніе многихъ вопросовъ анализа, которые было бы, можетъ быть, очень трудно разрѣшить безъ помощи геометрическихъ соображеній.» (Monge; Mémoire sur les propriétés de plusieurs genres de surfaces courbes, въ IX томѣ Mémoires des savans étrangers, 1775).
  8. Сочиненія Монжа и Карно представляютъ прекрасные примѣры примѣненія обоихъ методовъ къ доказательству тѣхъ же самыхъ теоремъ и обнаруживаютъ пользу ихъ одновременнаго употребленія: такъ Карно дѣлаетъ приложеніе теоріи трансверсалей ко многимъ свойствамъ коническихъ сѣченій и къ свойствамъ радикальныхъ осей и центровъ подобія трехъ круговъ на плоскости; Монжъ тѣ же предложенія доказалъ чисто геометрическими соображеніями. Но Карно, пользуясь метрическими соотношеніями фигуръ, получаетъ вмѣстѣ съ теоремами Монжа еще другія, именно метрическія, свойства, которыя вообще ускользаютъ отъ другаго метода, основаннаго исключительно на чисто начертательныхъ свойствахъ фигуръ.
    Говоря выше о принципѣ случайныхъ соотношеній, мы уже высказали нѣсколько соображеній о этихъ двухъ различныхъ пріемахъ геометрическаго изслѣдованія и доказательства.
  9. Это сочиненіе, подобно сочиненію Сервуа, имѣетъ предметомъ рѣшеніе многихъ задачъ при помощи одной прямой линіи. Бріаншонъ занимался этимъ же отдѣломъ геометріи въ сочиненіи Géométrie de la règle (Correspondance sur l'école polytechnique, t. II, p. 383).
    Геометрія этого рода не есть новость. Мы упоминали уже о сочиненіи Шутена по этому предмету и о сочиненіи Geometria peregrinans, которое появилось еще нѣсколько ранѣе. Въ трактатѣ Шутена De concinnandis demonstrationibus etc., есть также нѣсколько примѣровъ изъ этого отдѣла геометріи; другіе примѣры встрѣчаемъ въ Récréations mathématiques d'Ozanam (éd. 1778) и въ различныхъ сочиненіяхъ по землемѣрію, особенно въ сочиненіи Машерони: Problèmes pour les arpenteurs, arec différentes solutions (Pavie, 1793).
    Здѣсь кстати упомянуть объ оригинальномъ и любопытномъ сочиненіи Машерони: Géométrie du compas, въ которомъ рѣшаются при помощи одного циркуля задачи, обыкновенно рѣшаемыя помощію линейки и циркуля. Такая геометрія циркуля богаче и обшірнѣе, нежели геометрія линейки, потому что обнимаетъ задачи второй степени, составляющія главное содержаніе обыкновенной геометріи. Машерони показываетъ, что она также прилагается, и очень удобно, къ приблизительному рѣшенію вопросовъ, зависящихъ отъ коническихъ сѣченій и высшихъ кривыхъ.
    Еще гораздо ранѣе интересовали знаменитыхъ геометровъ подобныя попытки, именно изслѣдованія, занимающія такъ сказать средину между геометріею линейки и геометріею циркуля. Карданъ первый рѣшилъ нѣсколько задачъ Евклида при помощи линейки и циркуля съ постояннымъ отверстіемъ, какъ бы въ предположеніи, что на практикѣ даны только линейка и циркуль съ неизмѣннымъ отверстіемъ. Тарталеа не замедлилъ вступить на тотъ же путь вслѣдъ за своимъ соперникомъ и распространилъ такой же пріемъ на новыя задачи (General trattato di numeri e misure; 5-ta parte, libro terzo; in-fol. Венеція, 1560). Тотъ же предметъ составляетъ наконецъ содержаніе трактата піемонтскаго геометра Бенедиктиса: Resolutio omnium Euclidis problematum aliorumque ad hoc necessario inventorum, unà tantummodo circini data aperturâ; in—4°. Венеція, 1553).
  10. Journal и Correspondance de l'école polytechnique; Annales de Gergonne; Correspondance mathématique et physique de Quetelet; Journal für Mathematik v. Crelle.
    Многіе нѣмецкіе геометры: Штейнеръ, Плюкеръ, Мёбіусъ и др. достойные сотрудники знаменитыхъ аналистовъ Гаусса, Крелля, Якоби, Лежена-Дирихле и пр. писали въ послѣднемъ изъ указанныхъ изданій о новыхъ ученіяхъ раціональной геометріи. Мы испытываемъ живое сожалѣніе, что не можемъ дать здѣсь обзора этихъ сочиненій, которыя намъ неизвѣстны по причинѣ незнакомства съ нѣмецкимъ языкомъ.