Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов/Дезарг/ДО

Материал из Викитеки — свободной библиотеки
Перейти к навигации Перейти к поиску
Yat-round-icon1.jpg

Вторая эпоха: Дезаргъ.
авторъ Мишель Шаль, пер. В.Я. Цингеръ
Языкъ оригинала: французскій. Названіе въ оригиналѣ: Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en Géométrie particulièrement de celles qui se rapportent à la Géométrie moderne. — Изъ цикла «Историческій обзоръ происхожденія и развитія геометрическихъ методовъ». Дата созданія: 1829-1835 гг., опубл.: 1837, перев. 1870-83 гг. Источникъ: Commons-logo.svg Сканы, размещённые на Викискладе Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов/Дезарг/ДО въ новой орѳографіи


Вторая эпоха: Дезаргъ.


[79]20. Дезаргъ (1593—1662). Дезаргъ, котораго Паскаль избралъ руководителемъ и который дѣйствительно былъ достоинъ такого ученика также писалъ годомъ ранѣе, о коническихъ сѣченіяхъ совершенпо новымъ и оригинальнымъ образомъ. Его способъ, также какъ способъ Паскаля, основывался на началахъ перспективы[1] [80]и на нѣкоторыхъ предложеніяхъ теоріи трансверсалей. Намъ осталось только нѣсколько не вполнѣ ясныхъ указаній объ одномъ его сочиненіи подъ заглавіемъ: Brouillon projet d'une atteinte aux événements des rencontres du cône avec un plan. Другія сочиненія, если только они существовали, какъ это можно предполагать на основаніи одного мѣста въ Essai Паскаля, состояли можетъ быть только изъ летучихъ листковъ, въ которыхъ Дезаргъ, какъ кажется, имѣлъ обыкновеніе сообщать о своихъ открытіяхъ, или отвѣчать своимъ многочисленнымъ клеветникамъ.

Сочиненіе, о которомъ мы сказали выше, появилось въ 1639 году. О немъ говорится во многихъ письмахъ Декарта.

Это сочиненіе отличалось нѣсколькими новыми предложеніями, и, главное, духомъ метода, основаніемъ которому служило вѣрное и плодотворное разсужденіе, что коническія сѣченія, будучи получаемы отъ различныхъ снособовъ пересѣченія конуса, имѣющаго основаніемъ кругъ, должны имѣть съ кругомъ многія общія свойства.

Дезаргъ внесъ такимъ образомъ два важныхъ нововведенія въ изученіе коническихъ сѣченій. Во первыхъ, онъ разсматривалъ ихъ на конусѣ при всевозможныхъ положеніяхъ сѣкущей плоскости, [81]не пользуясь, какъ Аполлоній, осевымъ треугольникомъ. Во вторыхъ, онъ задумалъ примѣнить къ этимъ кривымъ свойства круга, служащаго основаніемъ конусу.

Эта мысль, какъ она ни кажется теперь проста и естественна намъ, привыкшимъ къ способу перспективы и къ другимъ пріемамъ преобразованія фигуръ, не приходила на умъ геометрамъ Александріи. Мы не находимъ никакого слѣда ея въ ихъ сочиненіяхъ; пользуясь въ своей теоріи коническихъ сѣченій свойствомъ круга (именно свойствомъ произведенія отрѣзковъ пересѣкающихся хордъ), они вовсе не имѣютъ намѣренія найти соотвѣтственное свойство для этихъ кривыхъ, а имѣютъ въ виду доказать только свою теорему о latus rectum.[2]

21. Способъ Дезарга далъ ему возможность внести въ теорію коническихъ сѣченій, какъ это сдѣлано имъ и въ другихъ сочиненіяхъ, большую общность и новыя воззрѣнія, послужившія къ расширенію соображеній и метафизики въ геометріи.

Онъ разсматривалъ различныя сѣченія конуса (кругъ, эллипсъ, параболу, гиперболу, систему двухъ прямыхъ), какъ видоизмѣненія одной и той же кривой: до этихъ же поръ они разсматривались отдѣльно и изслѣдовались каждое особыми способами[3].

Декартъ передаетъ намъ, что Дезаргъ разсматривалъ также систему параллельныхъ линій, какъ видоизмѣненіе системы прямыхъ, сходящихся въ одной точкѣ; точка встрѣчи въ этомъ случаѣ находится въ безконечности. «Что касается вашего способа разсматривать параллельныя линіи, какъ будто бы онѣ сходились на безконечномъ разстояніи, чтобы включить ихъ въ одинъ классъ съ тѣми, которыя идутъ въ одну и ту же точку, — то онъ очень хорошъ…»[4] (Lettres de Descartes, t. III, p. 457; изданіе in—12). [82]

Лейбницъ указываетъ также на эту мысль Дезарга въ мемуарѣ объ опредѣленіи кривой, огибающей безконечное число линій (Acta erud. an. 1692, р. 168); въ другомъ мѣстѣ онъ приводитъ эту мысль въ связь съ своимъ закономъ непрерывности (Comm. epist. t. II, р. 101). Ньютонъ принялъ такое же опредѣленіе параллельныхъ линій въ 18 и 22 леммахъ Principia, гдѣ онъ разсматриваетъ параллельныя прямыя, какъ сходящіяся въ безконечно-удаленной точкѣ.

Дезаргъ примѣнялъ къ системѣ прямыхъ свойства кривыхъ линій; теперь это вещь естественная и часто употребляемая, потомучто система прямыхъ, также какъ геометрическая кривая, можетъ быть выражена однимъ уравненіемъ; но тогда это было соображеніе новое и оригинальное. Декартъ слѣдующимъ образомъ говоритъ объ этомъ въ письмѣ къ Мерсенну:

«Способъ, которымъ онъ начинаетъ свое разсужденіе, примѣняя его въ одно время къ прямымъ и кривымъ линіямъ, тѣмъ болѣе хорошъ, что онъ есть самый общій и кажется почерпнутымъ изъ того, что я привыкъ называть метафизикой геометріи; это наука, которою, сколько мнѣ извѣстно, никто еще не пользовался, развѣ только Архимедъ. Я самъ всегда прибѣгаю къ ней, чтобы въ общемъ видѣ судить о предметахъ, которые возможно найти, и о томъ, гдѣ я ихъ долженъ искать....» (Letlres, t. IV, р. 379).

22. Идеи Дезарга о сравненіи системы прямыхъ съ кривыми линіями должны были повести его къ изысканію въ коническихъ сѣченіяхъ различныхъ извѣстныхъ свойствъ пары прямыхъ. Намъ сохранилось только одно изъ нихъ, которое Паскаль въ Essai pour les coniques называетъ чудеснымъ и которое дѣйствительно необыкновенно богато выводами. Это есть соотношеніе между отрѣзками, образуемыми на произвольной сѣкущей, коническимъ [83]сѣченіемъ и четырьмя сторонами вписаннаго въ него четыреугольника.

Соотношеніе это состоитъ въ томъ, что «произведеніе отрѣзковъ трансверсали, заключающихся между точкою коническаго сѣченія и двумя противоположными сторонами четыреугольника, относится къ произведенію отрѣзковъ между тою же точкою кривой и двумя другими противоположными сторонами четыреугольника, также, какъ относятся между собою подобныя же произведенія, составленныя для второй точки пересѣченія коническаго сѣченія съ трансверсалью.»

Эта теорема изложена Паскалемъ въ Essai pour les coniques и Бограномъ (Beaugrand) въ критическомъ письмѣ о сочиненіи Дезарга: Brouillon projet d'une atteinte aux événements des rencontres du cône avec un plan. Изъ этого письма мы узнаемъ, что Дезаргъ называлъ соотношеніе, составляющее его прекрасную теорему, инволюціею шести точекъ.

Изъ теоремы видно, какъ шесть точекъ другъ другу соотвѣтствуютъ, т. е. сопряжены попарно. Дезаргъ разсматривалъ случай, когда двѣ сопряженныя точки сливаются; тогда получается инволюція пяти точекъ[5]; потомъ случай, когда двѣ другія сопряженныя точки также сливаются; тогда остается только четыре точки и инволюціонное соотношеніе обращается въ гармоническую пропорцію.

Въ приведенномъ нами изложеніи инволюціоннаго соотношенія шести точекъ содержится восемь отрѣзковъ; но его можно замѣнить другимъ, заключающимъ въ себѣ только шесть отрѣзковъ, и тогда это будетъ точно такое же отношеніе, какое было дано Паппомъ для отрѣзковъ, образуемыхъ на трансверсали четырьмя сторонами и двумя діагоналями четыреугольника (130-я теорема VII книги Математическаго Собранія). [84]

Разсматривая пару діагоналей, какъ кривую линію втораго порядка, проходящую черезъ четыре вершины четыреугольника, мы замѣтимъ, что теорема Дезарга есть обобщеніе теоремы Паппа, въ которой двѣ діагонали четыреугольника замѣняются какимъ угодно коническимъ сѣченіемъ, проходящимъ черезъ четыре вершины.

23. Превосходное сочиненіе Бріаншона Mémoire sur les lignes du deuxieme ordre (Paris, 1817) основано на этой теоремѣ и обнаруживаетъ все богатство ея. Но, кажется, Дезаргъ самъ извлекъ уже изъ нея значительную долю пользы, при выводѣ многихъ свойствъ коническихъ сѣченій; дѣйствительно, Богранъ въ своемъ письмѣ[6] говоритъ, что часть сочиненія Brouillon projet etc. состояла въ изслѣдованіи слѣдствій изъ этой теоремы. Сверхъ того мы находимъ въ сочиненіи гравера Босса Pratiques géométrales et perspeclives слѣдующее мѣсто, относящееся, по всей вѣроятности, къ той же теоремѣ. Боссъ отвѣчаетъ противникамъ Дезарга и прибавляетъ: «Между прочимъ то, что онъ напечаталъ о кониссческихъ сѣченіяхъ, гдѣ въ одной теоремѣ заключаются, какъ случаи, шестьдесятъ предложеній первыхъ четырехъ книгъ Аполлонія, заслужило ему уваженіе ученыхъ, которые считаютъ его однимъ изъ лучшихъ геометровъ нашего времени, и между ними — чудо нашего вѣка — Паскаль».

Мы встрѣчаемъ еще въ сочиненіи гравера Grégoire Huret подъ заглавіемъ Optique de portraiture et pernture etc. Paris 1670, in fol. нѣсколько замѣчаній объ этой же теоремѣ, доказывающихъ, что Дезаргъ умѣлъ сдѣлать изъ нея обширное употребленіе.

Такимъ образомъ достовѣрно, что теорема Дезарга служила основаніемъ его теоріи коническихъ сѣченій и что многочисленныя свойства этихъ кривыхъ, которыя мы научились выводить изъ этой теоремы только нѣсколько лѣтъ тому назадъ, не ускользнули отъ логическаго и склоннаго къ обобщеніямъ ума Дезарга.

Но, кромѣ необыкновенной плодотворности, теорема эта представляетъ еще другой характеръ, на который не менѣе важно обращать вниманіе при философскомъ разборѣ развитія и направленія [85]методовъ теоріи коническихъ сѣченій. Эта теорема, по самой сущности своей, дала возможность Дезаргу разсматривать совершенно произвольныя сѣченія круглаго конуса, не прибѣгая къ употребленію осеваго треугольника, какъ говоритъ объ этомъ Паскаль; тогда какъ древніе и всѣ писатели послѣ нихъ пересѣкали конусъ только плоскостями перпендикулярными къ осевому треугольнику. Намъ кажется, что это великое нововведеніе есть самая важная заслуга сочиненія Дезарга о коническихъ сѣченіяхъ.

24. Изъ предыдущаго видно, что сочиненіе Дезарга было дѣйствительно прекрасно и оригинально и что оно внесло въ геометрію коническихъ сѣченій новую общность и новую простоту. Оно было оцѣнено по достоинтству великими людьми того вѣка. Мы привели уже выраженіе удивленія къ этому сочиненію со стороны Паскаля; тоже мнѣніе раздѣлялъ и Ферматъ, который въ письмѣ къ Мерсенну выражается такъ: «Я весьма уважаю Дезарга, тѣмъ болѣе, что онъ былъ самъ изобрѣтателемъ своихъ коническихъ сѣченій. Книжечка его, которая, какъ вы говорите, считается болтовнею, показалась мнѣ весьма понятною и очень умною.» (Oeuvres de Fermat, р. 173).

Нетрудно видѣть, въ чемъ заключается главная причина обилія слѣдствій, извлекаемыхъ изъ теоремы Дезарга, и той совершенно новой простоты, которая внесена ею въ теорію коническихъ сѣченій. Это потому, что въ ней заключается совершенно общее соотношеніе между шестью произвольными точками кривой. Древнимъ было извѣстно подобное соотношеніе только въ случаѣ нѣкоторыхъ особыхъ положеній шести точекъ; такъ напримѣръ, въ случаѣ, когда четыре точки находятся попарно на двухъ параллельныхъ между собою хордахъ (соотношеніе это состоитъ въ томъ, что произведенія отрѣзковъ, образуемыхъ на параллельныхъ хордахъ линіею, соединяющею двѣ остальныя точки, относятся между собою, какъ произведенія отрѣзковъ этой линіи, образуемыхъ параллельными хордами). Поэтому имъ были необходимы всегда промежуточныя предложенія, чтобы перейти отъ прямаго или неявнаго разсмотрѣнія пяти точекъ къ разсмотрѣнію шестой точки. Отсюда — весьма большое число вспомогательныхъ теоремъ, казавшихся [86]необходимыми въ теоріи коническихъ сѣченій; отсюда же главнымъ образомъ — длиннота доказательствъ.

Правда, рѣшеніе задачи ad quatuor lineas приводило къ совершенно общему свойству шести точекъ коническаго сѣченія; но до Аполлонія эта задача не была разрѣшена вполнѣ и этотъ великій геометръ, который говоритъ, что рѣшилъ ее при помощи началъ, находящихся въ его III книгѣ, не имѣлъ можетъ быть времени достаточно вникнуть въ ея сущность; онъ не нашелъ даже нужнымъ помѣстить ее въ своемъ сочиненіи о коническихъ сѣченіяхъ, такъ что у древнихъ она не имѣла никакого примѣненія.

25. Мы говорили уже, что Ферматъ въ числѣ нѣсколькихъ предложеній, служившихъ примѣрами поризмъ, далъ также теорему Дезарга; нельзя сомнѣваться, чтобы этотъ великій геометръ не открылъ ее самъ. Но Дезаргу, кромѣ старшинства въ открытіи болѣе чѣмъ на 25 лѣтъ, принадлежитъ то преимущество, что онъ разгадалъ и употребилъ въ дѣло всю пользу, доставляемую этой теоремой при изученіи коническихъ сѣченій.

Намъ кажется, что, до послѣдняго времени, Р. Симсонъ былъ единственный геометръ, пользовавшійся этою теоремой; онъ доказалъ ее въ 5-й книгѣ Traité de Coniques (пред. 12) и понималъ ея плодотворность, потомучто, выведя изъ нея шесть слѣдствій, онъ прибавляетъ, что въ нихъ заключается простое и естественное доказательство нѣкоторыхъ предложеній первой книги Principis Ньютона. Р. Симсонъ заимствовалъ эту теорему изъ сочиненій Фермата, какъ это сказано въ его Traité des Porismes, гдѣ онъ ее также доказываетъ въ n° 81.

26. До настоящаго времени теорему Дезарга разсматривали только въ вышеизложенной формѣ и извлекли изъ нея множество приложеній. Но, вводя понятіе объ ангармоническомъ отношеніи, можно смотрѣть на нее съ другой точки зрѣнія и дать ей другой видъ, въ которомъ она явится новымъ предложеніемъ, способнымъ къ другимъ приложеніямъ. Это предложеніе можно считать центральнымъ во всей теоріи коническихъ сѣченій, потомучто изъ него, какъ изъ единственнаго центра, проистекаетъ естественнымъ образомъ безчисленное множество разнообразныхъ свойствъ этихъ [87]кривыхъ, свойствъ, которыя безъ этого кажутся несвязанными и чуждыми другъ другу. При помощи этого предложенія легко перейти отъ теоремы Дезарга къ теоремѣ Паскаля и vісе versa, и отъ каждой изъ этихъ теоремъ къ различнымъ другимъ общимъ свойствамъ коническихъ сѣченій, напр. къ прекрасной теоремѣ Ньютона объ органическомъ образованіи этихъ кривыхъ. (См. Прим. XV).

27. Древніе для образованія коническихъ сѣченій разсматривали только конусъ съ круглымъ основаніемъ; Дезаргъ и Паскаль подражали имъ въ этомъ, такъ какъ они получали эти кривыя посредствомъ перспективнаго проложенія круга. Вслѣдствіе этого возникалъ вопросъ, всѣ ли конусы, имѣющіе основаніемъ какое-нибудь коническое сѣченіе, тождественны съ круглыми конусами; или, другими словами, можетъ-ли всякій конусъ съ эллиптическимъ, параболическимъ, или гиперболическимъ основаніемъ, быть пересѣченъ по кругу; и, если это такъ, то какъ опредѣлить положеніе сѣкущей плоскости? Дезаргъ, по свидѣтельству Мерсенна[7], предложилъ этотъ вопросъ, имѣвшій въ свое время нѣкоторую знаменитость по причинѣ трудности; дѣйствительно, задача эта допускаетъ три рѣшенія и потому зависитъ въ анализѣ отъ уравненія третьей степени, а въ геометріи отъ коническихъ сѣченій. Декартъ рѣшилъ ее при помощи своей новой аналитической геометріи и посредствомъ весьма изящнаго пріема, но только для того случая, когда основаніе конуса есть парабола; при этомъ рѣшеніе приводится къ пересѣченію круга съ параболой[8]. Послѣ этого тотъ же вопросъ занималъ собою многихъ другихъ знаменитыхъ геометровъ: маркиза Лопиталя[9], Германа[10], Жакье[11], которые слѣдовали также аналитическому пути Декарта [88]и внесли въ него нѣкоторыя упрощенія. Мнѣ неизвѣстно, было ли кѣмъ нибудь предложено чисто геометрическое и графическое рѣшеніе этого вопроса. Вся трудность исчезаетъ передъ новѣйшими геометрическими пріемами, при помощи которыхъ можно получить нѣсколько различныхъ рѣшеній[12].

Прибавленіе. Мы сказали, что предложенный Дезаргомъ вопросъ о пересѣченіи по кругу конуса съ эллиптическимъ, гиперболическимъ, или параболическимъ основаніемъ былъ рѣшенъ Декартомъ на основаніи началъ аналитической геометріи. Мы должны были прибавить, что Дезаргъ также рѣшилъ эту задачу посредствомъ [89]графическаю построенія[13]. Это видно изъ предисловія къ Synopsis universae Geometriae Мерсенна. Дезаргъ приводилъ рѣшеніе задачи къ изысканію главной оси конуса, т. е. оси, имѣющей свойство, что всякая перпендикулярная къ ней плоскость пересѣкаетъ конусъ по эллипсу, центръ котораго находится на этой оси. Онъ строилъ эту ось при помощи двухъ линій, для которыхъ опредѣлялъ сколько угодно точекъ. Мерсеннъ не говоритъ, какія зто были лииіи: но по всей вѣроятности, онѣ были — коническія сѣченія.

Опредѣливъ круговыя сѣченія конуса, Дезаргъ употреблялъ ихъ для рѣшенія различныхъ другихъ задачъ; напрімѣръ о пересѣченіи конуса по коническому сѣченію, подобному съ даннымъ; или по такому, которое удовлетворяло бы условію, что наибольшій уголъ между сопряженными діаметрами имѣетъ данную величину.

Дезаргъ рѣшиль и эту задачу и притомъ, по словамъ Мерсенна, въ самомъ, какъ только возможно, общемъ видѣ, именно:

Даны: конусъ съ эллиптическимъ, параболическимъ, или гиперболическимъ основаніемъ и сѣкущая плоскость; опредѣлить, не строл кривой пересѣченія конуса съ плоскостію, ея сопряженные діаметры, наклоненные подъ даннымъ угломъ, ея касательныя, ординаты, параметры и другія главныя въ ней линіи.

Дезаргъ упоминаетъ самъ о подобной же задачѣ въ концѣ своей маленькой книги о перспективѣ, находящейся въ трактатѣ о перспективѣ, изданномъ Боссомъ (in—8, 1648, p. 334); онъ выражается такимъ образомъ: [90]Ayant à pour traire une coupe de cône plate, y mener deux lignes dont les apparences soient tes essieux de la figure qui la représente.

Это значитъ: коническое сѣченіе проложено посредствомъ перспективы; найти въ его плоскости двѣ прямыя, которыя въ перспективѣ будутъ главными осями того коническаго сѣченія, которое получается въ проложеніи.

Изъ предисловія къ Synopsis Мерсенна мы узнаемъ еще, что Дезаргъ составилъ полный трактатъ о тѣлесномъ углѣ, гдѣ онъ рѣшилъ слѣдующія четыре задачи:

  1. Даны три плоскіе угла: опредѣлить три угла двугранныхъ.
  2. Даны два плоскіе угла и одинъ двугранный: найти остальной плоскій и два двугранные угла.
  3. Данъ одинъ плоскій и два двугранные угла: найти два другіе плоскіе и третій двугранный уголъ.
  4. Наконецъ по даннымъ тремъ двуграннымъ найти три плоскіе угла.

Мерсеннъ прибавляетъ, что Дезаргъ составлялъ другой трегранный уголъ, въ которомъ плоскіе углы были дополненіями двуграннымъ угламъ даннаго и наоборотъ. Отъ этого четыре задачи приводились къ двумъ.

Легко замѣтить, что этотъ дополнительный трегранный уголъ соотвѣтсвуетъ дополнительному треугольнику сферической тригонометріи, изобрѣтенному за нѣсколько лѣтъ до этого Снелліемъ въ его сочиненіи о тригонометріи. Что касается до самымъ задачъ, то онѣ представляютъ графическое рѣшеніе задачъ сферической тригонометріи. Впослѣдствіи это называлось рѣшеніемъ треугольной пирамиды. Теперь эти задачи составляютъ главу Начертательной Геометріи и часто употребляются въ приложеніяхъ этой науки, особенно къ обдѣлкѣ камней. (См. Traite de Géométrie descriptive, de M. Hachette и 3-ю тетрадь 1-го тома Correspondance polytechnique).

28. Мы обязаны также Дезаргу слѣдующимъ свойствомъ треугольника, которое въ новой геометріи сдѣлалось однимъ изъ основныхъ и наиболѣе полезныхъ предложеній: «Если два треугольника, въ пространствѣ или въ одной плоскости, имѣютъ попарно вершины [91]на трехъ прямыхъ, сходящихся въ одной точкѣ; то стороны ихъ пересѣкаются попарно въ трехъ точкахъ, лежащихъ на одной прямой».

Эта теорема, вмѣстѣ съ двумя другими, изъ которыхъ одна есть ея обратная, помѣщена въ концѣ сочиненія Traité de perspective, составленнаго Боссомъ[14] согласно началамъ и методу Дезарга и появившагося въ 1636 году. Когда треугольники находятся въ двухъ разныхъ плоскостяхъ, то теорема эта, какъ замѣчаетъ Дезаргъ, есть очевидная истина; но когда они въ одной плоскости, то доказательство замѣчательно тѣмъ, что оно основывается на Птоломеевой теоремѣ о треугольникѣ, пересѣченномъ трансверсалью. Это одинъ изъ первыхъ примѣровъ употребленія у новыхъ геометровъ этой знаменитой теоремы, сдѣлавшейся потомъ основаніемъ теоріи трансверсалей.

Въ послѣднее время эта теорема Дезарга была воспроизведена въ первый разъ Сервуа (Servois) въ сочиненіи Solutions peu connues etc. и потомъ употреблялась Бріаншономъ (Correspondance polytechnique, t. III, р. 3), Понселе въ его Traité des propriétés projectives, Штурмомъ и Жергономъ (Annales de mathematiques, t. XVI et ХVII). Понселе основалъ на ней свою изящную теорію гомологическихъ фигуръ. Онъ называетъ два треугольника, о которыхъ мы говоримъ, гомологическими, точку пересѣченія прямыхъ, соединяющихъ попарно ихъ вершины, центромъ гомологіи, и прямую, на которой попарно пересѣкаются ихъ стороны, — осью гомологіи.

Прибавленіе. Понселе далъ слѣдующую теорему для геометріи въ пространствѣ, какъ соотвѣтствующую Дезарговой теоремѣ на плоскости: Если два тетраэдра имѣютъ вершины, лежащія попарно на четырехъ прямыхъ, сходящихся въ одной точкѣ, то плоскости противоположныхъ граней пересѣкаются почетыремъ прямымъ, находящимся въ одной плоскости (Traité [92]des propriétés projertives, art. 582). Эта теорема можетъ быть обобщена слѣдующимъ образомъ:

Когда вершины двухъ тетраэдровъ помѣщены попарно на четырехъ прямыхъ, принадлежащихъ къ одной группѣ образующихъ гиперболоида съ одною полостью, то грани ихъ пересѣкаются по четыремъ прямымъ, которыя принадлежатъ къ образующимъ другаго гиперболоида.

29. До сихъ поръ пользовались только геометрпческими свойствами двухъ такихъ треугольникивъ, метрическія же отношеніи ихъ, т. е. отношенія величинъ и размѣровъ, которыя важны не менѣе начертательныхъ свойствъ, еще не были разсматриваемы въ общемъ видѣ. Извѣстны только нѣкоторые частные случаи. Такъ, если треугольники подобны и подобно расположены, то ихъ ось гомологіи находится въ безконечности; въ этомъ случаѣ разстоянія двухъ какихъ нибудь соотвѣтственныхъ точекъ отъ центра подобія находятся въ постоянномъ отношеніи. Точно также, если центръ гомологіи двухъ треугольниковъ находится въ безконечности, то извѣстно, что разстоянія соотвѣтственныхъ точекъ отъ оси гомологіи имѣютъ постоянное отношеніе. Понятно, что эти два соотношенія представляютъ только частные случаи одного общаго соотношенія, принадлежащаго двумъ какимъ угодно гомологическимъ треугольникамъ, у которыхъ ни центръ, ни ось гомологіи не находятся въ безконечности. Мы доказываемъ это общее соотношеніе въ нашемъ мемуарѣ, но оно такъ просто, что мы приведемъ его здѣсь, какъ дополненіе къ теоремѣ Дезарга: «отношеніе разстояній двухъ соотвѣтственныхъ вершинъ въ гомологическихъ треугольникахъ отъ центра гомологіи и отношеніе разстояній тѣхъ же вершинъ отъ оси гомологіи находятся между собою въ постоянномъ отношеніи». Эта теорема чрезвычайно полезна, доставляя множество новыхъ свойствъ гомологическихъ фигуръ и въ особенности системы двухъ коническихъ сѣченій, для которой изучены въ общемъ видѣ только чисто-геометрическія свойства[15]. [93]

Прибавимъ еще, что эта теорема Дезарга самымъ естественнымъ образомъ приводитъ къ слѣдующему прекрасному принципу перспективы, составляющему, можно сказать, главное назначеніе этой теоремы. «Если изъ двухъ плоскихъ фугуръ, помѣщенныхъ въ пространствѣ, одна есть перспектива другой и если будемъ вращать плоскость первой фигуры около линіи пересѣченія ея съ плоскостью второй фигуры, то прямыя, соединяющія соотвѣтственныя точки обѣихъ фигуръ, всегда будутъ сходиться въ одной точкѣ[16]; это же будетъ и въ томъ случаѣ, когда плоскости фигуръ совмѣстятся.» Изъ этого предложенія легко объясняются многія приложенія перспективы.

30. Дезаргъ занимался приложеніями геометріи къ искуствамъ; какъ человѣкъ, одаренный высшими способностями, онъ внесъ въ эти занятія, вмѣстѣ съ точностію, часто незнакомою художникамъ, духъ обобщенія, замѣченный нами въ его изысканіяхъ по чистой геометріи.

Были изданы различныя сочиненія его о перспективѣ, обдѣлкѣ камней и объ устройствѣ солнечныхъ часовъ. Эти сочиненія были, кажется, весьма кратки; они представляли нѣчто въ родѣ извлеченій, заключавшпхъ въ себѣ какъ бы только самое существенное содержаніе другихъ болѣе обширныхъ и полныхъ сочиненій. Спустя нѣсколько лѣтъ, извѣстный граверъ Боссъ былъ ознакомленъ Дезаргомъ съ этими новыми соображеніями, и, хотя онъ былъ посредственный геометръ, однако имѣлъ довольно проницательности, чтобы оцѣнить геній Дезарга; онъ снова изложилъ эти изслѣдованія, но черезъ-чуръ растянуто, думая, что для художниковъ болѣе удобно такое изложеніе, вовсе несвойственное истинному геометру. Но, вслѣдствіе утраты оригинальныхъ сочиненій Дезарга, статьи Босса пріобрѣли нѣкоторое значеніе. Для геометра, который [94]захотѣлъ бы прочесть ихъ со вниманіемъ, они достаточны, чтобы возстановить теоретическія начала, служившія основаніемъ различныхъ практическихъ приложеній, изложенныхъ въ оригинальныхъ трудахъ Дезарга. Вотъ заглавія сочиненій Дезарга.

  1. Méthode universelle de mettre en perspective les objets donnés reellement, ou en devis, proporfions, mesures, éloignemens, sans employer aucun point qui soit hors du champ de l'ouvrage, par G. D. L. (Girard Desargues, lyonnais), a Paris, 1636. Привилегія дана была въ 1630 году.
  2. Brouillon projet de la coupe des pierres. 1640 г.
  3. Les cadrans, ou moyen de placer le style, ou l'axe, напечатанное въ концѣ Brouillon de la coupe des pierres.[17]

Въ трактатѣ o перспективѣ, составленномъ Боссомъ, находится отрывокъ изъ оригинальнаго сочиненія Дезарга. Въ этомъ отрывкѣ мы узнаемъ сущность и основаніе всего сочиненія Босса. Цѣль Дезарга состояла въ воспроизведеніи персиективы, не прибѣгая къ рисунку предмета, а только при помощи линій, указывающихъ положеніе каждой точки предмета въ пространствѣ; подобно тому, какъ такія же линіи служатъ въ строительномъ искуствѣ къ построенію основной плоскости и контуровъ предмета. По этому поводу онъ изобрѣлъ l'echelle fuyante, которая и теперь употребляется у художниковъ и въ нѣкоторыхъ сочиненіяхъ о перспективѣ и носитъ имя Дезарга (см. о перспеткивѣ соч. Ozanam, р. 62. éd. 1720, in—8).

Это сочиненіе, по свидѣтельству Фермата, было «пріятно и умно». Декартъ высказалъ о немъ подобное же мнѣніе, говоря въ письмѣ [95]къ Мерсенну: «Я получилъ только нѣсколько дней тому назадъ двѣ небольшія книги in folio, которыя вы мнѣ послали; одну изъ нихъ, въ которой говорится о перспективѣ (сочиненіе Дезарга), нельзя не одобрить и не оцѣнить въ ней причудливаго и чистаго языка». (Lettres, t. IV, р. 257).

Книга о квадрантахъ заслужила также одобреніе Декарта, который находилъ, что «изобрѣтеніе превосходно и тѣмъ болѣе остроумно, что оно въ высшей степени просто». (Lettres, t. IV, р. 147). Великій философъ не выразилъ своего мнѣнія о книгѣ «de la coupe des pierres», потомучто въ ней недоставало фигуръ[18].

Кажется, что Дезаргу принадлежитъ также изобрѣтеніе эпициклоидъ и ихъ употребленіе въ механикѣ, — изобрѣтеніе, честь котораго Лейбницъ приписываетъ знаменитому астроному Рёмеру. Де-Лагиръ въ предисловіи къ Traité des épicycloides говоритъ, что онъ сдѣлалъ въ амкѣ Болье (Beaulieu) близь Парижа колесо съ эпициклоидальными зубцами вмѣстод другаго подобнаго же, п остроеннаго нѣкогда Дезаргомъ. Въ предисловіи къ Traité de mécanique 1695 г. Де-Лагиръ повторяетъ даже, что онъ даетъ построеніе колеса съ нечувствительнымъ треніемъ, колеса, первое изобрѣтеніе котораго принадлежитъ Дезаргу, одному изъ лучшихъ геометровъ того столѣтія.

31. Главный характеръ сочиненій Дезарга заключается въ большой общности теоретическихъ началъ и ихъ примѣненій, въ той общности, которая составляетъ красоту и величайшее достоинство Начертательной Геометріи Монжа. Такъ, въ началѣ своего сочиненія Brouillon projet de la coupe des pierres Дезаргъ говоритъ, что его способъ для обдѣлки камней имѣетъ одинаковое основаніе съ способомъ его перспективы[19]. Въ письмѣ 1643 [96]года, присоединенномъ къ сочиненію Босса о квадрантахъ, Дезаргъ говоритъ о своей идеѣ и о способѣ разсматривать эти предметы въ общемъ видіь, какъ о единственномъ способѣ, свойственномъ ученому.

Приведемъ еще одно мѣсто изъ Pratiques géometredes et perspectives Босса: «Дезаргъ доказывалъ въ общемъ видѣ, посредствомъ тѣлъ (par les solides), что обыкновенно не дѣлается тѣми, которые называютъ себя геометрами, или математиками».

Эти слова Босса par les solides не значатъ ли, что Дезаргъ при доказательствахъ прибѣгалъ къ фигурамъ трехъ измѣреній для вывода свойствъ плоскихъ фигуръ? А это и составляетъ теперь характеръ школы Монжа въ изслѣдованіяхъ чистой геометріи.

Многія мѣста изъ писемъ Декарта доказываютъ, что въ своихъ математическихъ изысканіяхъ Дезаргъ не ограничивался только геометріей и ея приложеніями, но что онъ писалъ также и объ анализѣ; видно даже, что ему столько же были знакомы и предметы философскіе.

Всѣ эти подробности обнаруживаетъ геній Дезарга, который былъ высоко уважаемъ его знаменитыми современниками Декартомъ, Паскалемъ, Ферматомъ; люди же посредственные, пониманіе которыхъ было ниже новизны и общности его воззрѣній, порицали и преслѣдовали его.

Мы прибавимъ еще нѣсколько подробностей о Дезаргѣ въ Примѣчаніи XIV.

Только спустя болѣе столѣтія проявляется снова духъ методовъ Дезарга и Паскаля. Эти методы были сохранены для насъ въ первомъ сочиненіи Де-Лагира о коническихъ сѣченіяхъ 1673 г. Этотъ теометръ зналъ о сочиненіи Дезарга Brouillon projet des coniques и приводитъ его заглавіе; но сочиненіе, Паскаля Essai pour les coniques было уже, кажется, совершенно забыто[20].

Примѣчанія.

  1. Это еще вопросъ, знали ли древніе примѣненіе перспективы къ раціональной геометріи; и вопросъ этотъ, кажется еще недостаточно изслѣдованъ. Съ перваго взгляда мы склонны отвѣчать на него утвердительно: такъ пріемъ этотъ кажется естественнымъ и близко связаннымъ съ способомъ полученія коническихъ сѣченій на кругломъ конусѣ. Таково поэтому и обыкновенное мнѣніе геометровъ. Оно подкрѣплено было въ послѣднее время своеобразнымъ мнѣніемъ Понселе о поризмахъ Евклида, которыя будто бы были предложеніями, доказываемыми по этому способу (Traité des propriétés projectives, Introduction, p. XXXII). Ho, несмотря на все уваженіе, которое мы питаемъ къ мнѣніямъ знаменитаго геометра, мы должны сознаться, что при чтеніи древнихъ мы не нашли даже слѣда чего-нибудь, что позволило бы намъ раздѣлять его мнѣніе въ данномъ случаѣ. Мы думаемъ, напротивъ, что способъ перспективы, какъ мы его теперь употребляемъ въ раціональной геометріи, совсѣмъ не употреблялся въ греческой школѣ. Поэтому, до болѣе полнаго и основательнаго изслѣдованія, мы будемъ приписывать этотъ способъ новымъ геометрамъ и скажемъ, что Дезаргу и Паскалю, первымъ, принадлежитъ заслуга примѣненія его къ теоріи коническихъ сѣченій.
  2. [См. гл. I, 11.]
  3. Desarguesius primus sectiones conicas universali quadam ratione tractare, ac propositiones multas sic enuntiare coepit, ut quaecunque sectio subintelligi posset. (Acta erud. ann. 1685, p. 400).
  4. Это нововведеніе обратило на себя въ то время вниманіе. Боссъ приводитъ его, какъ примѣръ общности воззрѣній Дезарга въ геометріи, въ слѣдующихъ словахъ: «Онъ показываетъ, въ письмѣ къ своему покойному другу, Паскалю сыну, что параллельныя линіи во всемъ подобны линіямъ, сходящимся въ одной точкѣ, и ничѣмъ отъ нихъ не отличаются.» (Traité des pratiques géométrales et perspeclives, in—12, 1665).
  5. Есть другой случай инволюціи пяти точекъ: когда шестая точка удаляется въ безконечность; тогда сопряженная ей точка принимаетъ весьма замѣчательное положеніе. Я не знаю, изслѣдованъ ли особо этотъ случай, представляющійся часто, когда и рѣчи нѣтъ о теоріи инволюціи.
  6. См. Прим. XIV.
  7. Universae geometriae, mixtaeque mathematicas synopsis; in fol. 1644, p. 331.
  8. Lettres de Descartes; ed. in—12, 1725; t. VI, p. 328.
  9. Traité analytique des sections coniques; livre 10, p. 407.
  10. Commentarii Academjae Petropolitanae; t. VI, ann. 1732 et 1733.
  11. Elementi di perspettiva; in—8; Romae 1755, p. 140.
  12. Достаточно опредѣлить три главныя оси конуса, потомучто, зная ихъ, непосредственно получаемъ положеніе круговыхъ сѣченій.
    Для опредѣленія главныхъ осей провожу черезъ большую ось коническаго сѣченія , служащаго основаніемъ конусу, плоскость перпендикулярную къ плоскости основанія и въ этой плоскости воображаю себѣ другое коническое сѣченіе, имѣющее вершинами и фокусами вершины и фокусы перваго.
    Это второе коническое сѣченіе я разсматриваю, какъ основаніе другаго конуса, имѣющаго съ даннымъ одну и ту же вершину. Новый конусъ встрѣтитъ плоскость кривой по другому коническому сѣченію; оно пересѣчется съ въ четырехъ точкахъ; въ четыреугольникѣ, составленномъ этими точками, двѣ точки пересѣченія противоположныхъ сторонъ и точка пересѣченія діагоналей будутъ три точки, принадлежащія тремъ искомымъ осямъ.
    Задача такимъ образомъ рѣшена.
    Второе рѣшеніе. Черезъ вершину даннаго конуса проводимъ прямыя, перпендикулярныя къ касательнымъ плоскостямъ; эти прямыя образуютъ другой конусъ втораго порядка, который встрѣчается съ плоскостью коническаго сѣченія, служащаго основаніемъ первому конусу, по другому коническому сѣченію. Эти двѣ кривыя пересѣкаются въ четырехъ точкахъ, служащихъ, какъ въ предыдущемъ случаѣ, къ рѣшенію задачи.
    Мы должны прибавить, что въ плоскости двухъ коническихъ сѣченій вообще существуютъ три точки, изъ которыхъ каждая имѣетъ одну и туже поляру относительно обѣихъ кривыхъ; эти то три точки и привадлежатъ тремъ искомымъ главнымъ осямъ.
    Мы нашли еще нѣсколько другихъ рѣшеній; но всѣ они требуютъ построенія коническаго сѣченія; это такъ и должно быть, потомучто задача допускаетъ три рѣшенія.
  13. Архимедъ рѣшилъ эту задачу въ случаѣ, когда вершина конуса находится въ плоскости, проходящей черезъ одинъ изъ главныхъ діаметровъ коническаго сѣченія и перпендикулярной къ плоскости основанія; это видно изъ 8-го и 9-го предложеній книги о сфероидахъ и коноидахъ.
    Изъ этихъ же предложеній видно, что Архимедъ, еще прежде Аполлонія, разсматривалъ косой конусъ съ круглымъ основаніемъ; тѣмъ не менѣе, впрочемъ, Аполлоній первый сталъ изучать теорію коническихъ сѣченій на косомъ конусѣ.
  14. Manière universelle de M. Desargues, pour pratiquer la perspective par petit-pied, comme le géométral; in—8; 1648, p. 340.
  15. Извѣстныя до сихъ поръ мертическія свойства двухъ какихъ угодно коническихъ сѣченій приводится, сколько мнѣ извѣстно, только кь нѣкоторымъ гармоническимъ соотношеніямъ.
  16. Эта точка встрѣчи будетъ измѣнять свое положеніе въ пространствѣ и легко видѣть, что она описываетъ кругъ въ плоскости, перпендикулярной къ общему пересѣченію плоскостей обѣихъ фигуръ.
  17. Заглавіе перваго изъ этихъ трехъ сочинеиій мы нашли въ Perspective de Nicéron (in fol. 1652) и въ сочиненіи о перспективѣ Ламберта (2-я часть, Zurich 1773; in 8-о); заглавія остальныхъ двухъ, теперь, кажется, совершенно неизвѣстныхъ, потомучто мы нигдѣ не нашли на нихъ никакого указанія, — въ весьма рѣдкомъ сочиненіи Кюрабелля (J. Curabelle): Examen des Oeuvres du sieur Desargues; Paris 1644, in-4. (81 страница).
  18. Балье (Baillet) въ сочиненіи Vіе de Descartes говоритъ, что эти двѣ книги Дезарга были изданы въ 1643 году. Но это ошибка: Балье смѣшиваетъ ихъ съ сочиненіями Босса, которыя явились дѣйствительно въ 1643 году; онъ не зналъ, что еще въ 1640 году было напечатано Дезаргомъ сочиненіе Brouillon projet de la coupe des pierres вмѣстѣ съ «Les cadrans» и что объ этомъ только сочиненіи могъ говорить Декартъ въ письмѣ къ Мерсенну, писанномъ въ 1641 году.
  19. Эти слова Дезарга передары Кюрабеллемъ въ вышеупомянутомъ сочиненіи его; стр. 70.
  20. Cum nihil de his Pascalii, Desarguesii autem pauca sint edita, eo gratior fuit labor doctissimi geometme Ph. de la Hire, qui vestigiis istorum insistens multaque perpudchra de suo adjiciens, jam ante 12 annos libellum titulo Novae methodi sectiones conicas et cylindricas explicandi edidit... (Acta Erud., 1685, p. 400).