Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов/Успехи чистой геометрии

Четвертая эпоха:
Успехи чистой геометрии. — Галлей. — Arithmetica universalis и Principia Ньютона. — Treatise of fluxions Маклорена. — Симсон. — Стюарт — Ламберт.
автор Мишель Шаль, пер. В.Я. Цингер

Оригинал: фр. Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en Géométrie particulièrement de celles qui se rapportent à la Géométrie moderne. — Из цикла «Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов». Перевод созд.: 1829-1835 гг., опубл: 1837, перев. 1870-83 гг. Источник: Сканы, размещённые на Викискладе

Четвертая эпоха, n° 12-38.

12. Успехи чистой геометрии. Возвратимся к геометрии теоретической и попытаемся дать отчет о характере и размерах исследований, способствовавших её развитию; для этого мы представим разбор главных сочинений геометров, изучавших эту науку или для неё самой, или чтобы пользоваться ею как пособием при изучении явлений природы.

Галлей (1656 — 1742). Знаменитый астроном Галлей, обладавший обширными сведениями и отличавшийся особенно глубоким знанием геометрии греческой школы, соорудил превосходный памятник древней науке своими переводами важнейших сочинений древних геометров, более верными, чем все предшествовавшие. Особенно замечательно великолепное издание конических сечений Аполлония, где с замечательным талантом восстановлена 8-я книга, текст которой до сих пор не был еще найден. Продолжение составляют две книги Серена о сечениях конуса и цилиндра.

Галлею же мы обязаны переводом с арабской рукописи неизвестного до тех пор сочинения De sectione rationis и восстановлением, на основании указаний Паппа, трактата De sectione spatii.

Предмет этих двух сочинений состоял, как известно, в проведении через точку, взятую вне двух линий, такой секущей, которая на этих прямых, начиная от двух постоянных точек, образовала бы отрезки, имеющие в первом случае данное отношение, a во втором — данное произведение.

Каждый из этих вопросов допускает вообще два решения и следовательно в анализе приводился бы к уравнению второй степени. Интересно видеть, с каким искусством Аполлоний решает первый вопрос помощью средней пропорциональной. Его геометрические соображения соответствуют действиям, которые мы употребили бы для уничтожения второго члена в квадратном уравнении.

Ньютон, питавший уважение к геометрии древних, особенно отличал этот трактат Аполлония. „Я слышал не раз, говорит ученый Пембертон^[1], что он одобрял намерение Гуго Омерика восстановить древний анализ и чрезвычайно хвалил книгу Аполлония De sectione rationis, — книгу, которая более всех творений древности раскрывает перед нами сущность этого анализа“.

Перевод Галлея обогащен многими примечаниями; в них даны общие и изящные построения, обнимающие собою большинство частных случаев задачи, рассматриваемых Аполлонием отдельно и весьма подробно, так как они имели назначение служить формулами, которые всякий геометр должен был иметь под руками при решении задач. Из одного примечания видно, что самый общий случай приводится к проведению через данную точку дкух касательных к параболе, определяемой вполне посредством данных вопроса. Это счастливое замечание дает средство для ясного и простого исследования всех частных случаев задачи; оно привело Галлея к различным свойствам касательных к параболе, между прочим к следующему:

Если около параболы описан четырёхугольник, то всякая касательная делит противоположные стороны его на части пропорциональные.

Все подобные предложения суть только частные случаи одного общего предложения, названного нами ангармоническим свойством касательных конического сечения. (См. Примечание XVI).

Галлей не знал ни слова по арабски, когда любовь к геометрии заставила его предпринять перевод рукописи de sectione rationis. В предисловии он рассказывает историю этой рукописи, остававшейся в течения многих лет забытою в Бодлейенской библиотеке. Он сожалеет об утрате множества других сочинений греческой школы и не сомневается, что многия из них могли бы еще быть найдены, если бы с большим старанием позаботились об этом. По этому поводу он обращается с мольбою ко всем ученым, которым доступны библиотеки, обладающие рукописями. Мы считаем долгом привести здесь эти мысли и желания знаменитого Галлея, которые должны иметь важное значение в глазах всех просвещенных людей, имеющих возможность каким бы то ни было образом принести пользу математическим наукам.

Галлеем было приготовлено издание сферики Менелая в трех книгах, сверенное с еврейскою рукописью. Но оно появилось только в 1758 году, благодаря стараниям друга Галлея доктора Костарда, автора истории астрономии.

С глубоким знанием геометрии древних Галлей соединял полное понимание способа Декарта. Он пользовался им преимущественно для усовершенствования приемов построения уравнений третьей и четвертой степени, употребляя для этой цели какую нибудь данную параболу и круг^[2].

Его издания сочинений Аполлония, Серена и Менелая весьма высоко ценятся любителями геометрии^[3]; их одних было бы достаточно, чтобы дать Галлею почетное место в ряду ученых, способствовавших развитию математических наук, если бы труды по астрономии без того не ставили его на ряду с знаменитейшими людьми той эпохи: Домиником Кассини, Гюйгенсом и Ньютоном.

13. Хотя Ньютон и Маклорен, о прекрасных изысканиях которых в теории геометрических кривых мы уже говорили, не писали особо о геометрии древних, однако они так высоко ценили способы древних, что почти исключительно употребляли их в своих физико-математических исследованиях. Поэтому мы должны бросить еще взгляд на сочинения этих геометров.

Из трудов Ньютона мы остановимся на Arithmetica universalis и на его большом сочинения Principia.

Arithmetica universalis^[4] есть превосходный образец приложения способа Декарта к решению геометрических вопросов и к построению корней уравнений; здесь находится множество разнообразных предложений, относящихся ко всем отделам математики. Это сочинение в наше время читают слишком мало, забывая вероятно, что знаменитый автор, излагая здесь свои лекции, читанные в Кембриджском университете, считал это сочинение способным ознакомить его слушателей с наукой и со всеми знаниями, необходимыми для геометра.

14. Первая книга Prinsipia содержит множество различных предложений чистой геометрии. Особенно замечательны прекрасные свойства конических сечений и задачи о построении этих кривых по данным точкам и касательным, или также по данному при этом фокусу. Подобные изыскания были в то время по большей части новы; они служили Ньютону вступлением к объяснению всех небесных явлений из его закона всеобщего тяготения и к выводу a priori и вычислению при помощи этого единственного начала движения всех небесных тел. Этим Ньютон оказал величайшую почесть исследованиям древних геометров о конических сечениях, после того, как Кеплер из них же почерпнул открытие истинной формы планетных орбит.

В настоящее время почти совсем не употребляются геометрические предложения и многочисленные свойства конических сечений, которые необходимы для исследования вопросов о системе мира по способу Ньютона; этим объясняется, почему такой способ, независимо от выгод, представляемых способом аналитическим, теперь оставлен и почему его считают долгим и трудным и не ожидают от него ничего, или почти ничего, в будущем. Такое мнение усиливается с каждым днем, потому что анализ, которым все занимаются исключительно, делает постоянные успехи и вместе с тем упрощаются и совершенствуются более и более те первые аналитические приемы, которые заменили собою способ Ньютона. Последний же, оставленный без разработки, остается в том же состоянии, в каком он вышел из рук своего знаменитого автора. И когда эти способы сравнивают между собою, никто не указывают на первоначальные попытки аналистов, когда прекрасные выводы Ньютона превращены были сначала в тяжелый и неизящный анализ, совершенствовавшийся потом с каждым днем, благодаря постоянным усилиям знаменитейших геометров. Отчего же при этом не принимают по крайней мере в соображение тех усовершенствований, которые могли бы быть сделаны в геометрическом способе, дающем иногда такие наглядные результаты, если бы только он не был совершенно оставлен?

Внимательный разбор различных предложений чистой геометрии, употребляемых в Prinsipia Ньтотона, дает нам понятие о том, каковы бы могли быть эти усовершенствования. Так мы узнаем, что эти предложения, кажущиеся совершенно различными и доказываемые каждое особым способом, могут быть приведены к двум, или трем главным свойствам конических сечений, из которых они проистекают, как частные случаи, или простые следствия. Таким образом теперь новый комментарий к Prinsipia Ньтотона, составленный в духе и со средствами новой геометрии, сократил и упростил бы в высшей степени чтение этого бессмертного сочинения.

15. Покажем теперь, что предложения Ньютона могут, как мы сказали, быть выведены только из двух, или трех, более общих свойств конических сечений.

В предложениях 19, 20 и 21 решены все задачи о построении конического сечения, имеющего данный фокус и касающегося данных прямых, или проходящего через данные точки. Но решение всех подобных вопросов непосредственно приводится теперь к таким же вопросам о круге, удовлетворяющем трем условиям, посредством или теории гомологических фигур, как это показал Понселе, или посредством поляр, как это указано нами (Annales de mathématiques, t. XVIII.)

Леммы 17, 18 и 19 представляют свойство четырехугольника, вписанного в коническое сечение, или теорему древних ad quatuor lineas. Мы показали, что эта теорема чрезвычайно легко выводится из предложения, названного нами ангармоническим свойством точек конического сечения. Свойство же это доказывается с совершенною очевидностью без помощи всякого другого свойства конических сечений. (См. Примечание ХV).

Леммы 20 и 21 имеют предметом образование конических сечений посредством пересечения двух прямых, вращающихся около неподвижных полюсов.

В первой из этих лемм вращающиеся прямые проводятся через точки пересечения параллельных секущих с двумя неподвижными прямыми. Об этой теореме мы упоминали, говоря о Де-Витте, и указали частный случай её в сочинении Кавальери. [См. гл. III, n° 8.]

Если бы секущие не были параллельны, а проходили бы через одну точку, то получалась бы во всей общности теорема Маклорена и Брайкенриджа; мы видели, что она, изложенная в иной форме, ведет к теореме Паскаля о шестиугольнике; в Примечание ХV показано, что она непосредственно выводится из ангармонического свойства точек конического сечения.

В 21 лемме вращающиеся прямые суть стороны двух постоянных по величине углов, другия стороны которых пересекаются на неизменяемой прямой. Этот способ органического образования конических сечений изложен Ньютоном также в Enumeratio linearum tertii ordinis и в Arithmetica universalis. Мы показали уже (в том же Примечании, [n° 8]), что этот способ образования, который доказывался всегда довольно длинным путем, выводится необыкновенно легко, подобно предыдущему, из того же ангармонического свойства.

Леммы 23, 24 и 25 с их следствиями представляют частные случаи общего свойства четырёхугольника, описанного около конического сечения, — свойства сходного с общим свойством вписанного четырёхугольника и названного нами ангармоническим свойством касательных конического сечения. (См Примечание XVI.)

3-е следствие 25-Й леммы представляет следующее прекрасное предложение, которое было потом доказано разными способами: «во всяком четырёхугольнике, описанном около конического сечения, прямая проведенная через средины диагоналей, проходит через центр кривой».

Многие предложения относятся к задаче о построении конического сечения по данным пяти условиям, именно по давным точкам и касательным. Все подобные вопросы, как известно, решаются теперь очень просто.

Лемма 22 служит к преобразованию одних фигур в другие того же рода. В следующих предложениях Ньютон ею пользуется для превращения прямых, проходящих через одну точку, в прямые параллельные между собою с целью облегчить решение некоторых вопросов. В третьей эпохе мы говорили об этом приеме и показали там, что он есть ни что иное, как один из способов перспективы. Нам кажется, что замечание это может облегчить понимание этого приема.

16. Во всех предварительных предложениях и их следствиях Ньютон ограничивал свои изыскания только тем, что ему было решительно необходимо для его великого предприятия. Но из самой сущности его предложений видно, что если бы он имел в виду развитие и усовершенствование теории конических сечений, то эти предложения привели бы его без труда к естественному обобщению полученных уже им результатов, т. е. к более общим свойствам конических сечений.

От него не ускользнуло бы также и то, что его способ преобразования фигур прилагается естественным образом также к фигурам трех измерений; тогда мы за целые полтора века ранее узнали бы то, что сделано было только в самое недавнее время; например преобразование сферы во всякую поверхность второго порядка, подобно тому, как со времен Дезарга и Паскаля преобразовывают помощью перспективы круг для открытия и исследования свойств конических сечений.

Сам Ньютон не имел в виду подобных обобщений. Но они не могли бы остаться незамеченными теми геометрами, которые захотели бы подумать над чисто-геометрическим отделом Principia; это обстоятельство ясно показывает, как мало после того времени разрабатывалась геометрия.

17. В сочинении Ньютона дано было в первый раз распрямление эпициклоид. До тех пор не было ничего писано об этих знаменитых кривых, хотя они, по свидетельству Лейбница, были изобретены еще за десять лет до этого времени Ремером. По словам Де-Лагира первое открытие этих кривых и употреблевие их при построении зубчатых колес восходит даже до Дезарга, гений которого, мало ценимый в настоящее время, был действительно достаточен для такого важного и полезного открытия. Через несколько лет после издания сочинения Ньютона появилоcь сочинение Де-Лагира Traité géométrique des épicycloïdes.

Прибавление. Эпициклоиды рассматривались еще в самые отдаленные времена, потому что они играли важную роль в астрономической системе Птоломея. Но характер и свойства этих кривых, кажется, вовсе не изучались в то время геометрическим путем. Альбрехт Дюрер поместил их в число кривых, которые можно построить по точкам, и говорил, что они могут быть полезны в строительном искусстве; но он также не изучал ни одного свойства их.

Первая эпициклоида, свойства которой были найдены, указана Карданом: это — линия, образуемая точкою окружности, катящейся по вогнутой стороне другой окружности, имеющей вдвое больший радиус; линия эта, как известно, есть прямая. Кардан доказал это предложение в книге под заглавием: Opus novum de proportionibus numerorum, motuum, etc. (prop. 173, p. 186).

Потом в 1678 году Гюйгенс нашел, что огибающая отраженных волн при отражении параллельных лучей от окружности есть эпициклоида, образуемая точкою окружности, катящейся по вогнутой стороне освещаемого круга; при этом диаметр первой окружности, вчетверо менее второй. Гюйгенс показал распрямление и квадратуру такой эпициклоиды (Tractatus de lumine, cap. VI).

Около того же времени Де-Лагир обнаружил, что каустическая Чирнгаузена при отражении кругом параллельных лучей есть также эпициклоида, образуемая точкою круга, катящегося по выпуклой стороне неподвижного круга, имеющего диаметр вдвое больший.

Эта кривая есть развертка эпициклоиды Гюйгенса.

Вот, сколько мне известно, первые эпициклоиды, некоторые геометрические свойства которых были изучены. Кривые эти встречались потом во мвогих других вопросах физики и механики, где они играют заметную роль.

18. Укажем еще в книге Principia на знаменитые овалы, которые изобретены были Декартом, как кривые, собирающие посредством преломления в один фокус все лучи, исходящие из одной точки, подобно тому, как эллипс и гипербола собирают лучи параллельные^[5]. Ньютон показывает очень просто, что эти кривые представляют геометрическое место точек, расстояния которых от двух окружностей находятся в постоянном отношении. Это же самое видно из геометрического построения Декарта и Гюйгенс прямо, без всякого доказательства, получил такое же заключение из теории волн в его трактате о свете.

Сделаем здесь одно замечание о геометрии Декарта, замечание, которого мы не имели случая высказать ранее. Геометрическое построение овалов удовлетворяло той цели, для которой знаменитый философ назначал их в своей диоптрике; но оно не было достаточно для полного исследования этих кривых. Ни Роберваль, который, спустя немного времени, дал построение овалов и исследовал их формы, ни Гюйгенс, ни Ньютон не были вполне знакомы с этими кривыми с геометрической точки зрения. Дело в том, что каждый овал, взятый в отдельности, не представлял вполне того геометрического места, которое удовлетворяет свойству, указанному Ньютоном, или уравнению четвертой стевеви, найденному Декартом: это геометрическое место состоит всегда из совокупности двух сопряженных овалов (conjuguées), нераздельных друг от друга в аналитическом выражении.

Замечание это ускользнуло от Декарта, как в его Геометрии, так и в Диоптрике, также как от других названных нами знаменитых геометров. Оно могло быть опущено в Диоптрике, но должно было, по нашему мнению, быть указано в Геометрии. От этого произошло, что одна из форм этих кривых укрылась от анализа Декарта; это именно случай, когда два сопряженные овала имеют одну общую точку и образуют одну кривую с двойною точкой; кривая в этом случае есть ничто иное, как улиткообразная Паскаля (limaçon). Таким образом эта замечательная кривая, представляющая, как известно, в одно и тоже время круговую эпициклоиду и конхоиду, отличается еще тем до сих пор незамеченным свойством, что она, как и все овалы Декарта, имеет два фокуса.

В последнее время овалы опять появились в геометрии. Знаменитый астроном Гершель назвал их апланетическими линиями^[6], имея в виду употребление их в оптике. Кетле открыл в них особые любопытные свойства, которые мы покажем в Примечании XXI.

19. Маклорен, также как Ньютон, питал любовь к чистой геометрии и также умел прилагать ее с чрезвычайным искусством к философским изысканиям. Сочинение его Treatise of fluxions имело целью показать связь и соотношение между способами Архимеда и Ньютона и доказать последний способ со всею строгостью греческой школы; в этом сочинении мы находим множество синтетических доказательств для разнообразных вопросов механики и высшей геометрии; анализ не мог бы быть в этом случае ни проще, ни быстрее. Все знают, с каким изяществом и простотою решил он этим путем важный вопрос о виде земли; одного этого исследования достаточно, чтобы сделать имя Маклорена бессмертным.

Вопрос состоял в том, чтобы определить притяжение эллипсоида вращения на точки, лежащие внутри, или на поверхности. Из некоторых свойств конических сечений Маклорен сумел извлечь средства, достаточные для решения этого вопроса, всегда считавшегося самыми знаменитыми аналистами одним из труднейших. Чтобы оценить достоинство этого исследования и способа, употребленного Маклореном, мы приведем лучше всего мнение, высказанное об этом предмете знаменитым Лагранжем. Заметив, что есть вопросы, в которых геометрический способ древних представляет преимущества перед анализом, Лагранж прибавляет: „Задача об определении притяжения эллиптического сфероида на точку, помещенную на самой поверхности, или внутри её, принадлежит к этому роду. Маклорен, первый, решил эту задачу в своем превосходном сочинении о приливе и отливе моря, увенчанном Парижскою Академиею Наук в 1740 году; он следовал методу чисто геометрическому, основанному исключительно на некоторых свойствах эллипса и эллиптических сфероидов; и надобно признаться, что эта часть сочинения Маклорена представляет превосходный образец геометрии, который можно сравнить с самыми лучшими и гениальными сочинениями, оставленными нам Архимедом. Маклорен имел какое-то особое призвание к способу древних и потому не удивительно, что он воспользовался им для решения упомянутого нами вопроса; но нам кажется необыкновенным то, что такая важная задача не была и после того решена прямым аналитическим путем, особенно в последнее время, когда анализ вошел в такое широкое и всеобщее употребление. Причину этого, кажется, можно приписать только трудности вычислений, необходимых для решения этой задачи, когда она рассматривается с чисто аналитической точки зрения.... В настоящем мемуаре я хочу показать, что рассматриваемая задача не только не представляется недоступною анализу, но может быть решена аналитически, если не также просто, как путем синтеза, то по крайней мере более прямо и с большею общностью и пр.“^[7].

Большая общность заключалась в вычислении притяжения трехосного эллипсоида вместо эллипсоида вращения, исследованного Маклореном. Но это обобщение уже показано было Даламбером и получено им путем чисто геометрических соображений, путем совершенно тем же, который указан был Маклореном^[8].

20. В другой части сочинения Маклорена, о которой Лагранж ничего еще не говорит в упомянутом нами первом мемуаре, обнаруживается действительное преимущество геометрического способа перед анализом. Мы говорим о знаменитой теореме об эллипсоидах, главные сечения которых имеют одни и те же фокусы. Теорема эта заключается в том, что притяжения, обнаруживаемые такими двумя эллипсоидами на внешнюю точку, имеют одинаковое направление и по величине пропорциональны массам этих тел. Маклорен доказал только простейший частный случай этой прекрасной теоремы, когда притягиваемая точка находится на одной из главных осей обоих эллипсоидов (Treitise of fluxions, art. 653). Ho и этот частный случай представлял столько затруднений, что все усилия Даламберта решить его аналитически кончились тем, что великий геометр признал теорему Маклорена неверною^[9]; Лагранж же, доказавший ее несколько позднее, ограничился тем же частным случаем^[10]. Даламберт, чтобы поправить свою ошибку, предложил тогда еще три решения, но и он, как Лагранж, не пошел далее Маклорена^[11]. Вскоре после того Лежандр сделал шаг в этом вопросе, доказав теорему для случая, когда притягиваемая точка находится в одной из главных плоскостей эллипсоидов; подозревая после этого всю общность теоремы^[12], он аналитически доказал ее вполне чрез несколько лет в мемуаре, который может служить образцом побежденных трудностей. Этот превосходный и глубоко ученый мемуар был бы еще более богат интересными выводами, если бы Лежандр показал геометрическое значение многих из формул, через которые он должен был перейти, чтобы достигнуть до окончательного вывода теоремы^[13].

После того найдено было много доказательств теоремы Лежандра, из которых мы укажем здесь на одно, получаемое синтетическим путем. Оно проистекает из прекрасной теоремы Эйвори, помощью которой вычисление притяжения эллипсоида на внешние точки приводится к притяжениям на внутренние точки. Различные доказательства теоремы Эйвори мало отличаются от предложенного самим знаменитым изобретателем и основываются на некоторых преобразованиях формул. Но теорема эта по своему характеру должна бы относиться к геометрической теории притяжения эллипсоидов и потому можно желать. чтобы было найдено для неё более синтетическое решение, независимое от формул анализа.

Со стороны вычисления вопрос о притяжении эллипсоидов решен в настоящее время вполне, насколько это позволяют средства анализа, формулы притяжения приведены к эллиптическим квадратурам, интегрирование которых в конечном виде невозможно. Но рассматриваемый с другой точки зрения вопрос этот далеко еще не исчерпан и поведет еще, без сомнения, ко многим изысканиям и прекрасным открытиям^[14]. Новейшие работы двух знаменитых аналистов Франции и Кенигсберга, Пуассона и Якоби, доказывают, что многое еще остается сделать; они привлекут новое внимание на этот предмет, исполненный высокого интереса.

21. Задача о притяжении эллипсоидов, рассматриваемая независимо от многих приложений её к вопросам философии природы, принадлежит к геометрии и решение её, данное Маклореном, представляет одно из исследований, наиболее способных возбудить любовь и интерес к чистой наглядной геометрии, так мало известной уже около века. Надеемся, что по этой причине нам извинят подробности, в которые мы вошли по этому поводу и которые отвлекли нас от разбора геометрических исследований Маклорена; мы укажем теперь, на каких свойствах конических сечений основывал Маклорен свое решение предыдущей задачи, и таким образом снова возвратимся к нашему предмету.

Одного свойства достаточно для вычисления притяжения нa точку поверхности, или на точку внутреннюю, именно:

«Даны два подобные, подобно расположенные и концентрические эллипса; через вершину меньшего из них проводим касательную, которая пересечется с другим эллипсом в двух точках.

Через одну из этих двух точек проводим во втором эллипсе две хорды, одинаково наклоненные к вышесказанной касательной.

Через вершину первого эллипса проводим две его хорды, параллельные хордам другого эллипса.

Сумма этих хорд равна сумме двух других.»

Маклорен доказывает эту теорему для круга помощью начальной геометрии; пролагая потом оба эллипса на плоскость, параллельную рассматриваемой касательной и наклоненную так, чтобы проложения были кругами, он выводит и самую теорему^[15].

22. Вычисление притяжения на внешнюю точку было не так просто: Маклорен употреблял для этого два предложения, из которых он сам изложил только одно, другое же вытекает из доказательства первого; именно:

«1) Представим себе два эллипса, описанные из одних и тех же фокусов; если через точку, взятую на одной из главных осей, проведем две секущие так, чтобы косинусы углов их с другою осью были пропорциональны диаметрам эллипсов по направлению этой оси, то отрезки секущих, заключающиеся между двумя кривыми, будут соответственно пропорциональны диаметрам по направлению первой оси.

2) Если в двух эллипсах, описанных из одних и тех же фокусов, проведем два какие-нибудь диаметра, оканчивающиеся в соответственных точках этих кривых, то разность квадратов их будет величина постоянная.»

Соответственными точками мы называем такие, расстояния которых от главных осей пропорциональны диаметрам обоих эллипсов, перпендикулярных соответственно этим осям.

Маклорену было достаточно первого из этихь предложений для доказательства, что притяжения двух однофокусных эллипсоидов вращения на точку, взятую на продолжении оси вращения, относятся как массы эллипсоидов. Отсюда, при помощи второго предложения, он заключает, что таже теорема справедлива для всех внешних точек, находящихся в плоскости экватора обоих cфероидов. Затем он замечает, что доказательство второй теоремы прилагается также к однофокусным эллипсоидам с тремя неравными осями, если притягиваемая точка лежит на продолжении одной из осей; отсюда и проистекает та знаменитая теорема, о которой мы говорили выше.

Даламберт и впоследствии Лагранж и Лежандр думали, что Маклорен только высказал свою теорему, но не дал её доказательства; это — ошибка со стороны трех знаменитых геометров, потому что доказательство здесь совершенно тожественно с предыдущим и автор ограничился поэтому, как и следовало, словами: таким же образом докажем и т. д.; не было надобности повторять рассуждения, изложенные несколькими строками выше, и в которых ненужно было ни изменять, ни прибавлять, ни выкидывать ни одного слова.^[16].

23. Два изложенные нами свойства эллипсов, описанных из одних и тех же фокусов, принадлежат самому Маклорену; вероятно это были первые предложения об однофокусных конических сечениях, также как в его теореме о притяжении эллипсоидов, главные сечения которых имеют одинаковые фокусы, в первый раз говорится о таких эллипсоидах. Эти поверхности несколько лет спустя встретились в других вопросах и в настоящее время они, по нашему мнению, должны играть важную роль в поверхностях второго порядка. Они обладают множеством еще незамеченных свойств, о которых мы будем говорить в Примечаниях к пятой эпохе.

24. Маклорен доказывает свойства эллипса, рассматривая его как косвенное сечение круглого цилиндра, и выводит их из свойств круга. Он не ограничился упомянутыми нами предложениями; усвоив себе этот весьма удобный способ, он желал распространить его приложения далее Маркиза Лопиталя, который еще прежде указал этот способ в конце своего аналитического трактата о конических сечениях (кн. VI). На немногих страницах Маклорен с чрезвычайною простотою доказал главные свойства эллипса. Здесь находим естественное и более краткое, чем у Ньютона, исследование задачи о центральной силе для эллипса, когда притягивающая точка имеет какое бы то ни было положение в плоскости кривой: из этого исследования непосредственно видно, что притяжение будет прямо пропорционально расстоянию, когда притягивающая точка находится в центре эллипса, и обратно пропорциональна квадрату расстояния, когда она лежит в фокусе кривой.

По поводу Treatise of fluxions Маклорена можно было бы сделать много подобных же замечаний, относящихся к истории развития геометрии; во мы и без того уже перешли за пределы, указываемые назначением нашего труда; поэтому оканчиваем здесь обозрение трудов этого великого геометра.

25. Р. Симсон (1687—1768). Роберт Симсон, о котором мы имели уже случай упоминать несколько раз, есть один из геометров предшествующего столетия, наиболее изучавших геометрию древних и наиболее способствовавших её распространению. Большое сочинение его о конических сечениях в пяти книгах написано в строгом стиле Аполлония, в стиле, который в то время начинали уже оставлять для исключительно аналитического способа. Сочинение это есть первое, в котором включены были две знаменитые теоремы Дезарга и Паскаля. В нем находим также теорему ad quatuor lineas; но эта теорема появилась еще раньше в сочинении о конических сечениях Milnes'a^[17], который заимствовал ее из Principia Ньютона.

Только то обстоятельство, что в сочинении Симсона заключаются три упомянутые нами основные теоремы, и дает этому сочинению некоторое преимущество персд большим трактатом Де-Лагира; относительно же метода последнее сочинение кажется нам несравненно выше; оно представляло заметное улучшение древних способов, тогда как сочинение Симсона в этом отношении заметно отстало.

В самом деле, Симсон, по образцу небольшего трактата Де-Лагира 1679 года и по образцу Лопиталя, рассматривает конические сечения в плоскости, определяя каждое особым частным свойством. Параболу — равенством расстояний каждой точки от фокуса и директрисы; эллипс и гиперболу — постоянного суммою и разностью расстояний точек этих кривых от двух фокусов. Из этих определений трех кривых Симсон выводит важнейшие свойства каждой из них и потом показывает, что эти кривые одинаковы с теми, которые Аполлоний получал на косом конусе при помощи осевого треугольника.

Изучив таким образом три вида конических сечений в трех первых книгах своего сочинения, Симсон только в двух следующих книгах рассматривает конические сечения в совокупности и в общем виде и доказывает множество их общих свойств.

Теорема ad quatuor lineas есть 28-е предложение его четвертой книги; шестиугольник Паскаля — 47-е пятой книги; теорема Дезарга доказана в предложениях 12 и 49 той же книги. Симсону была неизвестна близкая связь этих трех теорем, составляющих, можно сказать, различные выражения одного и того же общего свойства конических сечений. Но он умел оценить всю пользу двух последних теорем: он показал, что из одной из них выводится вся теория полюсов, из другой же вывел шесть следствий и прибавил к этому, что в двух сказанных теоремах заключается общее доказательство большинства предложений первой книги Principia Ньютона.

Жаль, что Симсон не воспользовался этим счастливым замечанием и не заключил в одном общем предложении и в одном доказательстве множество отдельных частных теорем, для которых им были даны еще прежде многочисленные и разнородные доказательства. Это — единственное средство упростить теорию конических сечений, облегчить и распространить знакомство с нею и употребление её и подготовить для неё новые приобретения.

26. Мы не будем здесь останавливаться на его знаменитом трактате о поризмах, где в первый раз определена сущность этих предложений, составлявших до тех пор неразрешимую загадку для самых ученых геометров; об этом мы говорили уже подробно в статье об Евклиде и в Примечании III.

Восстановленная Симсоном книга de sectione determinata помещена в одном томе с его поризмами.

Он восстановил также loca plana Аполлония^[18] точнее и вернее, чем Схоутен и Ферма.

Он приготовил еще новый перевод сочинений Паппа, найденный между рукописями, завещанными им Глазговской коллегии; жаль, что перевод этот не был никогда издан, так как он представляет работу, далеко не так легкую, как прежде думали, и требовавшую глубоких познаний в древней геометрии. Никто не мог бы выполнить этот труд с таким знанием и искусством, как ученый Симсон. Удивительно, что соотечественники его не озаботились этим изданием и что в этом случае благородный пример лорда Стенхоупа, издавшего поризмы и de sectione determinata, не нашел себе подражателя в отечестве Ньютона, где древняя геометрия насчитывала всегда много достойных и знаменитых почитателей.

27. Cтюарт (Стеварт, Mathieu Stewart, 1717—1785). Стюарт, ученик Симсона и Маклорена в Глазговской Коллегии и потом в Эдинбургском университете, заимствовал от своих учителей любовь к геометрии древних и, как они, обязан был ей своею знаменитостью. Первое сочинение его о некоторых общих теоремах употребляемых в высшей математике (написано по-английски, in—8°, 1746) поставило его сразу на почетное место между геометрами, и через несколько времени доставило ему кафедру математики после смерти Маклорена. Благодаря характеру обязанностей и направлению первых трудов, Стюарту можно было в особенности заниматься геометрическим методом и он предполагал приложить этот метод к труднейшим вопросам физической астрономии, которые интересовали в то время ученых и, по мнению их, считались доступными только для самого высшего анализа. Таким образом Стюарт имел намерение продолжать труды Ньюнона и Маклорена относительно вопросов о системе мира, вопросов, которые вследствие естественного прогресса в науке сделались многочисленнее и сложнее, чем во время этих двух великих геометров. С подобною целью Стюарт в 1761 году издал сочинение Tracts physical and mathematical, etc. т. е. «Трактаты по физике и математике, содержащие изъяснения многих важных вопросов физической астрономии и новый способ определения расстояния земли от солнца помощью теории тяготения.» Более обширная теория центростремительных сил, вычисления расстояния земли от солнца и весьма трудная задача о трех телах, т. е. вычисление взаимодействия между солнцем, землею и луною — вот важнейшие вопросы, решенные Стюартом в этом сочинении при помощи только элементов плоской геометрии и теории конических сечений. Порядок и ясность в изложении предложений, простота их доказательства и трудность вопросов, разрешенных при их помощи, всё это заслужило Стюарту большие похвалы и заставило считать его одним из самых глубоких геометров того времени. Впрочем мы должны заметить, что его вычисление расстояния земли от солнца было ошибочно. Причина ошибки была открыта и разъяснена сперва Даусоном (Dawson) в 1769 году^[19], потом Ланденом в 1771^[20]. Ошибка проистекала не от способа исследования, но от пренебрежения некоторыми количествами, сделанного ошибочно в целях упрощения. Впоследствии из этого обстоятельства сделали возражение против геометрического метода; но чтобы это возражение опровергнуть, достаточно припомнить, сколько подобных ошибок сделано было знаменитейшими аналистами и как они обыкновенны, особенно в астрономии, где анализ может идти только путем последовательных приближений.

28. Мы должны упомянуть еще об одном сочинении Стюарта по частой геометрии, именно: Propositiones geometricae, more Veterum demonstratae, at Geometriam antiquam illustrandam et promovendam idoneae. Edimb. 1763, in—8°.

Мы должны войти в некоторые подробности, чтобы ознакомить читателей с этим сочинением Стюарта, также как с его Общими теоремами, которые были изданы девятнадцатью годами ранее. Так как обе книги очень редки, то разбор и изложение заключающихся в них теорем не будет, нам кажется, излишним.

Книга об общих теоремах содержит шестьдесят четыре предложения, из которых только пятьдесят названы теоремами. Из остальных четырнадцати три находятся в начале сочинения и служат для доказательства теорем; последними же одиннадцатью, выражающими большею частью различные свойства круга, оканчивается книга.

Из всех шестидесяти четырех предложений доказано только восемь первых и в том числе пять первых теорем. В кратком предисловии автор объявляет, что для изложения доказательства всех теорем, столь общих и трудных, ему нужно бы было более времени, нежели сколько он на это может посвятить. Мне неизвестно, были ли впоследствии восстановлены доказательства Стюарта, или они были найдены в его бумагах и какое в таком случае сделано из них употребление.

Два первые предложения выражают общие свойства четырех точек, из которых три находятся на прямой линии, а четвертая имеет произвольное положение. Во втором предложении четвертая точка может быть взята также и на самой прямой. Вот это предложение, которое, кажется, известно менее, чем заслуживает:

Если возьмем три точки $A,C,B$ на прямой линии и еще какую нибудь точку $D$ вне прямой, или опять на ней, то будем имет:

$DA^{2}.BC+DB^{2}.AC-DC^{2}.AB=AB.AC.BC$.

Мы уже говорили [в гл. I, n° 36], что из этого предложения могут быть выведены, как простые следствия, восемь лемм Паппа к loca plana Аполлония. Вскоре после появления этой теоремы в сочинении Стюарта Роберт Симсон извлек из неё удачное применение в прибавлении к Loca plana restituta и другой известный геометр, Томас Симпсон, также доказал ее и воспользовался как леммою для решения многих задач в изданных им упражнениях для учащихся математике^[21]. Позднее ту же теорему доказал Эйлер, как лемму при решении задачи о вписанном в круг треугольнике, стороны которого проходят через три данные точки^[22]. Наконец известный физик и геометр Лесли также доказал и употреблял эту теорему в третьей книге своего Геометрического анализа^[23].

Из сказанного нами видно, что теорема эта, почти совсем неизвестная в наше время, имеет право занять место в элементах, или по крайней мере в дополнениях к геометрии^[24].

Почти все пятьдесят теорем Стюарта могут быть включены в следующие четыре более общие предложения, из которых все другие вытекают, как следствия.

1. Положим, что около круга радиуса $R$ описан правильный многоугольник, имеющий $m$ сторон и пусть $n$ будет число меньшее $m$.

Если из какой нибудь точки (взятой внутри многоугольника, если $n$ нечетное, и где угодно, если $n$ четное) опустим перпендикуляры на стороны многоугольника, то сумма $n$-ых степеней их будет равна

$m.(R^{n}+Av^{2}R^{n-2}+Bv^{4}R^{n-4}+Cv^{6}R^{n-6}+\dots )$,

где $v$ есть расстояние точки от центра круга; $A$ есть коэффициент третьего члена бинома, возвышенного в степень $n$, умноженный на ${\tfrac {1}{2}}$; $B$ — коэффициент пятого члена, умноженный на ${\tfrac {1.3}{2.4}}$; $C$ — коэффициент седьмого члена, умноженный на ${\frac {1.3.5}{2.4.6}}$; и. т. д. (Предл. 40).

Таким образом:

$A={\frac {n(n-1)}{2^{2}}}$,

$B={\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)}{2^{2}.4^{2}}}$

$C={\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)}{2^{3}.4^{2}.6^{2}}}$

и т. д.

Если точка, из которой опускаются перпендикуляры, взята на окружности, то формула обращается в

$m.{\frac {1.3.5.7\dots (2n-1)}{1.2.3.4\dots n}}R^{n}$. (Предл. 39).

В этой общей теореме заключаются предложения 3, 5, 22, 23, 28, 29 и 45.

2. Положим, что в круге радиуса $R$ вписан правильный многоугольник, имеющий $m$ сторон, и пусть $n$ будет число меньшее $n$.

Если возьмем произвольно точку на расстоянии $v$ от центра круга, то сумма $2n$-ых степеней расстояниа этой точки от вершин многоугольника будет равна

$m(R^{2n}+a^{2}v^{2}R^{2n-2}+b^{2}v^{4}R^{2n-4}+c^{2}v^{6}R^{2n-6}+$ и т. д.),

где $a$ есть коэффициент второго члена бинома, возвышенного в степен $n$; $b$ — коэффициент третьего члена; $c$ — четвертого и т. д. (Предл. 42).

Если точка взята на окружности, то формула обращается в

$m.{\frac {1.3.5.7\dots (2n-1)}{1.2.3.4\dots n}}2^{n}R^{2n}$. (Предл. 41).

В этой общей теореме заключаются предложения 4, 36, 27 и 34.

3. Даны, где угодно, $m$ точек и столько-же количеств $a,b,c,\dots$; пуст будет $n$ число меньшее $m$; можно найти $n+1$ других точек так, чтобы сумма помноженных соответственно на $a,b,c,\dots$ $2n$-ых степеней расстояний какой угодно точки от данных точек находилась с суммою $2n$-ых степеней расстояний той же точки от найденных точек в отношении

$(a+b+c+\dots ):(n+1)$ (Предл. 44).

В этой теореме заключаются предложения 11, 12, 32, 33, 43.

4. Даны $m$ каких-нибудь прямых и столько же количеств $a,b,c,\dots$; пусть $n$ будет число меньшее $m$; можно всегда найти $n+1$ других прямых так, чтобы сумма помноженных соответственно на $a,b,c,\dots$ $n$-ых степеней расстояний произвольной точки от данных прямых находилась с суммою $n$-ых степеней расстояний той же точки от найденных прямых в оттошении

$(a+b+c+\dots ):(n+1)$. (Предл. 49 и 53).

Эта теорема заключает в себе предложения 17, 21, 24, 25, 37, 38, 42, 50, 51, 52.

29. Мы нашли, что изложение двух последних теорем можно представить в более общем и довольно любопытном виде. Вместе с тем соотношением между $2n$-ыми степенями расстояний произвольной точки от данных и найденных точек, соотношением, которое составляет первую из этих теорем, существует еще подобное же соотношение между степенями $2(n-\delta )$ тех же расстояний, при чем $\delta$ может иметь все величины $0,1,2,\dots (n-1)$; таким образом между расстояниями произвольной точки от данных и найденных точек будет существовать $n$ соотношений. В теореме Стеварта указывается только одно из них.

Последнее из таких соотношений будет иметь место между квадратами расстояний. Оно показывает, что найденные точки имеют один центр тяжести с данными точками, если в последних предположим массы $a,b,c,\dots$, массы же в найденных точках предположим равными.

Подобным же образом во второй теореме, представляющей соотношение между $n$-ыми степенями расстояний какой нибудь точки от данных и найденных прямых, мы будем иметь подобное же соотношение между $(n-2\delta )$ степенями расстояний; при чем $\delta$ может иметь все величины $0,1,2,\dots$ до ${\tfrac {n-1}{2}}$, когда $n$ нечетное, и до ${\tfrac {n-2}{2}}$, когда $n$ четное. Таким образом между расстояниями произвольной точки от данных и найденных прямых будет существовать ${\tfrac {n-1}{2}}$, или ${\tfrac {n-2}{2}}$, различных соотношений вместо одного, заключающегося в теореме Стюарта. (См. Примечание XXII).

30. Мы нашли также, что две первые из приведенных выше теорем относительно правильных многоугольников вписанных и описанных представляют частные случаи подобных же теорем для конических сечений; они ведут ко множеству свойств этих кривых и эти свойства кажется не были еще до сих пор замечены. Проистекающие отсюда многочисленные теоремы являются в некотором смысле любопытными обобщениями известных свойств сопряженных диаметров и радиусов векторов, проводимых в фокусы.

Запас разнообразных свойств конических сечений кажется неистощимым. Всякий день открываются новые пути для их изучения. Не должно думать, что подобные изыскания праздны или имеют мало интереса. Каждое открытие в этой области есть предвестник более важных и общих открытий, которые увеличивают значение конических сечений во всех отделах математики и дают возможность открывать аналогичные свойства во множестве кривых высших порядков, — свойства, до которых трудно было бы дойти, исследуя прямо эти весьма сложные и трудно изучаемые кривые.

31. Propositions geometricae Стюарта состоят из двух книг: в первой содержится шестьдесят, во второй — пятьдесят два предложения.

Все они относятся к прямой линии и кругу.

В первых предложениях выражается общее свойство четырёхугольника, доказанное Паппом в леммах к поризмам Евклида: всякая прямая встречает четыре стороны и две диагонали четырехугольника в шести точках образующих инволюцию.

В Примечании X сказано, что это соотношение может быть выражено помощью шести или помощью восьми отрезков. Соотношение между шестью отрезками доказано было Паппом; Стуарт же употреблял соотношение между восемью отрезками; он доказал его во всей общности в 59-м предложении первой книги.

Предшествующие предложения 51—58 суть частные случаи, служившие Стюарту для постепенного перехода к общему предложению. 60-е предложение, последнее в первой книге, есть также частный случай, когда две стороны четырёхугольника параллельны.

Предложения 6—13 второй книги представляют другие свойства четырёхугольника; в изложение их не входит инволюционное соотношение, но они могут быть из него легко выведены. Все эти предложения относятся к известной теореме, которая, по свидетельству Паппа, входила в состав поризм Евклида, именно:

Если три стороны переменного треугольника вращаются около трех неподвижных полюсов, расположенных на одной прямой, и две вершины его движутся по двум данным неподвижным прямым, то третья вершина описывает прямую, проходящую через точку пересечения двух первых.

Стюарт не излагает этой теоремы в общем виде, а доказывает только различные её частные случаи. Кажется, он не заметил тесной связи этой теоремы с общих инволюционным соотношением между отрезками, образуемыми на секущей четырьмя сторонами и двумя диагоналями четырёхугольника.

32. Предложения о круге можно рассматривать, как относящиеся к образованию этой кривой посредством пересечения прямых, вращающихся около двух неподвижных полюсов, причем эти прямые образуют на трансверсали отрезки, удовлетворяющие некоторым соотношениям. Мы распределили эти предложения на три группы.

В первой — два полюса расположены на окружности, трансверсаль же имеет положение произвольное.

Во второй — полюсы помещены произвольно, причем один из них может находиться и на окружности; трансверсаль же параллельна прямой, соединяющей полюсы.

Наконец в третьей группе полюсы опять расположены произвольно, но трансверсаль перпендикулярна или наклонена к прямой, соединяющей полюсы.

Во всех предложениях первой группы говорится об отрезках, образуемых на хорде круга четырьмя сторонами вписанного четырёхугольника.

Можно подумать, что здесь речь идет о теореме Дезарга [см. Прим. X, n° 23], но это не так: Стюарт выражает соотношение между отрезками не одним уравнением, как Дезарг, а двумя уравнениями, в которых входит одна точка и два вспомогательные отрезка.

Исключение этих отрезков, которое не было сделано Стюартом, привело бы его к соотношению между одними только отрезками, образуемыми на хорде круга четырьмя сторонами четырёхугольника; но это соотношение представляется не в обыкновенной форме инволюции шести точек, и в виде трехчленного уравнения; поэтому мы должны думать, что Стюарт не знал теоремы Дезарга, или по крайней мере не пользовался ею в своем сочинении.

Теорема, полученная этим геометром, доказана в общем виде в предложениях 46, 47 и 48 второй книги. Предложения 41—45 суть частные случаи, служащие для перехода к общему предложению.

Предложения 29—38 относятся к свойствам четырёхугольника вписанного в круг; при изложении их Стюарт употребляет только одно уравнение, в котором мы узнаем частные случаи теоремы Дезарга.

Два предложения 39-е и 40-е заключают в себе следующее замечательное свойство вписанного в круг четырёхугольника:

Квадрат прямой, соединяющей точки встречи противоположных сторон, равен сумме квадратов касательных, проведенных из этих точек к окружности.

Предложение это, подобно предыдущим, легко выводится из теоремы Дезарга.

33. Почти вся вторая книга посвящена предложениям об отрезках, образуемых на трансверсали двумя подвижными прямыми, вращающимися около двух неподвижных полюсов, не лежащих на окружности.

В предложениях 14—21 и 44—52 трансверсаль параллельна прямой, соединяющей полюсы. Предложения 23, 25 и 26 первой книги относятся сюда же.

Легко заметить, что во всех этих предложениях соотношения между отрезками выражаются уравнениями второй степени.

Вот a priori причина этого обстоятельства и в то же время средство придти прямо к теоремам Стюарта и восстановить их в случае утраты.

Когда точка пересечения двух вращающихся прямых описывает вообще коническое сечение, то отрезки, образуемые на неподвижной трансверсали, параллельной с прямой, соединяющей полюсы, удовлетворяют соотношению второй степени; обратно, когда отрезки имеют между собою соотношение второй степени, — точка встречи вращающихся прямых всегда описывает коническое сечение (как мы докажем это в приложениях нашего принципа гомографии). И так, во-первых, если кривая есть круг, то отрезки должны удовлетворять соотношению второй степени. Во-вторых, если дадим себе два полюса, положение трансверсали и желаемую форму соотношения второй степени между отрезками, то получим два условные уравнения для выражения требования, чтобы коническое сечение, описываемое точкою пересечения вращающихся прямых, обращалось в круг. Из этих уравнений можем определить величины двух из множества неопределенных количеств, именно: коэффициентов соотношения, положений двух полюсов и трансверсали и положения двух на ней точек, от которых считаются отрезки.

Замечание это дает ключ ко всем теоремам Стюарта. Оно прилагается также и к другим подобным же предложениям этого геометра, помещенным Симсоном в его Трактате о поризмах. В четвертом из пяти предложений, данных Ферма под именем поризм, мы имеем кажется первый образец этого рода предложений о круге.

34. В перечисленных нами предложениях Стюарт подражал Ферма; потом он обобщил его мысль, рассматривая отрезки на трансверсали, имеющей какое угодно положение.

Такие свойства круга заключаются в девятнадцати предложениях 22—40.

Здесь отрезки, образуемые вращающимися прямыми на трансверсали, не имеют уже между собою постоянного соотношения второй степени и здесь уже не так легко, как в предыдущем случае, заметить общую форму различных соотношений, доказываемых Стюартом. Не смотря на это, мы убедились, что эти соотношения могут быть выведены из следующего общего свойства конических сечений.

Даны два неподвижные полюса и трансверсаль, встречающая в точке $E$ прямую, соединяющую полюсы; на трансверсали взята еще неподвижная точка $O$.

Если около полюсов будем вращать две прямые, пересекающие трансверсаль в точках $a,a'$, так чтобы между величинами ${\tfrac {Oa}{Ea}}$ и ${\tfrac {Oa'}{Ea'}}$ сохранялось постоянное соотношение второй степени, то точка пересечения прямых будет описывать коническое сечение.

И обратно, если точка встречи двух прямых описывает коническое сечение, то между ${\tfrac {Oa}{Ea}}$ и ${\tfrac {Oa'}{Ea'}}$, будет существовать соотношение второй степени.

Эта общая теорема может вести ко множеству свойств круга, так как всегда будем иметь два условия, выражающие, что описываемое коническое сечение есть круг. Помощью этих условий определятся или два коэффициента в соотношении, или положение каких-нибудь двух составных частей фигуры.

35. Кажется, что никто впоследствии не продолжал исследований Стюарта о подобных свойствах круга.

Теперь пренебрегают такого рода геометрическими изысканиями, рассчитывая в случае нужды обратиться к помощи анализа. Но понятно, что эти изыскания считались бы полезными и необходимыми, если бы имелось в виду продолжать геометрические труды древних и геометров предшествующего столетия. Мне кажется, что именно эта мысль руководила исследованиями Карно в его Géométrie de position и Théorie des transversales. По своему философскому плану сочинения эти, подобно сочинениям Симсона и Стюарта, сближаются, по моему мнению, с данными и с поризмами Евклида. Это истинные дополнения к геометрии, считавшиеся у древних необходимыми как для теоретических, так и для практических приложений геометрии.

36. Предложенный нами разбор сочинений Стюарта показывает, что в них заключалось много предложений, доказанных в отдельности, но представляющих частные случаи одни других. Таков обыкновенный и неизбежный путь геометра, переходящего от предложения простейшего к более общему, потом к еще более обширному и т. д.; при этом вывод сколько-нибудь общего предложения требует предварительного доказательства многих частных случаев. Теперь мы можем доказать сразу и прямым путем самые общие из этих предложений и затем, рассматривая их во всей общности, применить к ним те же изыскания, которые делались прежде над их простейшими случаями. Такая простота, до крайности облегчающая изучение, несомненно свидетельствует об успехах геометрии в последнее время; и та же простота проникла бы и во все приложения геометрии к великим вопросам, исследованным Гюйгенсом и Ньютоном, если бы исключительная наклонность к анализу, который один поддерживается в учреждениях, назначенных для развития и распространения наук, не отстранила изучения и употребления другого метода^[25].

В предисловии к Propositiones Geometricae Стюарт заявил, что он издаст еще другие тома о тех же геометрических предметах. Не знаю, были ли найдены в его рукописях исследования, долженствовавшие войти в состав этих томов.

37. Ламберт (1728—1777). Знаменитый Ламберт, второй Лейбниц по объему и глубине своих познаний, должен быть включен в число геометров, которые в то время, когда все умы увлечены были богатством анализа, сохранили знание геометрии и любовь к этой науке и воспользовались ею для самых глубоких приложении.

В его многочисленных сочинениях часто встречаются различные вопросы чистой геометрии. Мы должны особенно указать на его геометрические трактаты о перспективе и о кометах.

Сочинение Ламберта о перспективе появилось сначала в 1759 году; потом оно издано было в 1773 году с прибавлением второй части, в которой Ламберт, пользуясь способом перспективы как геометрическим приемом, доказал многие предложения о начертательных свойствах, входящих теперь в теорию трансверсалей, и положил начало той части геометрии, которая теперь называется геометрией линейки.

Трактат о кометах, под заглавием Insigniores orbitae cometarum proprietates (in-8°, Augsbourg, 1761), содержит чисто геометрическое изложение многочисленных свойств конических сечений, свойств или чисто начертательных, или служащих к измерению элементов конических сечений; эти прекрасные открытия приложены к определению движения комет.

Особенно замечательно следующее свойство эллипса, которое получило важное значение в теории комет.

Если в двух эллипсах, построенных на общей большой оси, возьмем две дуги, стягиваемые равными хордами, и притом так, чтобы суммы радиусов векторов, проведенных из фокусов к двум соответствующим концам этих дуг, были также равны между собою; то площади секторов, заключающихся в каждом эллипсе между дугою и двумя радиусами векторами, будут относиться как квадратные корни из параметров. (Sect. 4, lem. 26.)

Разсматривая эллипс как планетную орбиту, и вставляя вместо секторов времена прохождения соответствующих им дуг, на основании Ньютонова принципа пропорциональности времен с площадями секторов, разделенные на квадратный корень из параметра^[26], мы отсюда заключаем, что в двух вышеупомянутых эллипсах времена употребляемые на прохождение двух секторов одинаковы.

Теорема эта дает средство приводить вычисление времени, употребляемого на прохождение дуги данного эллипса, ко времени прохождения дуги какого угодно другого эллипса, имеющего ту же большую ось, и даже — ко времени прохождения части большой оси, так как эллипс обращается в свою большую ось, когда другая ос исчезает, и тогда большая ось делается орбитою движущейся точки.

Геометрические соображения Ламберта очень просты, но тем не менее они привели его к самой важной теореме теории комет и позднейшие аналитические доказательства этой теоремы потребовали всех усилий анализа.

Свойство эллипса, лежащее в основании этой теоремы, принадлежит также и гиперболическим секторам; это доказано было геометрически знаменитым Лекселем, в мемуаре которого^[27] находится много других свойств конических сечений.

Ламберт часто возвращался к теории движения планет и к вычислению орбит; он нашел возможным еще извлечь много пользы из геометрии при замене анализа графическими построениями в вопросе об определении орбит комент по трем наблюдениям^[28].

Мы не можем указать в многочисленных трудах Ламберта других исследований, заслуживающих признательности со стороны любителей чистой геометрии, так как большая часть его сочинений написана по-немецки.

38. Этим мы оканчиваем обзор развития и значения геометрии в течение XVIII века, составляющего нашу четвертую эпоху. Любовь и навык к геометрическим изысканиям угасли и мы затем можем встретить только отдельные исследования, рассеянные в академических изданиях. Некоторые из таких исследований дали бы нам повод упомянуть знаменитые имена Эйлера, Лагранжа, Фусса, Лекселя и др.; обобщая посредством новейших способов первые результаты этих знаменитых геометров, мы могли бы показать, что геометрия сделала в последнее время несомненные успехи и что она способна к решительному усовершенствованию, которое со временем должно уменьшить расстояние, отделяющее теперь эту науку от математического анализа.

Но мы спешим к концу, новые же подробности отдалили бы нас от него.

Примечания

1. View of sir Isaac Newton's philosophy, in — 4°, 1728; переведено на франдузский язык в 1755 году под заглавием: Mémens de la philosophie Newtonienne.
2. Philosophical Transactions, 1687, n° 188.
3. Все эти сочинения очень редки, в особенности трактат De sectione rationis; это до сих пор единственная книга, в которой можно найти, вместе с переводом более точным, чем перевод Коммандина, полный греческий текст предисловия к 7-й книге Математического Собрания Паппа.
4. [Руск. перев.: Ньютон И. Всеобщая арифметика или Книга об арифметическом синтезе и анализе. — М.: Изд. АН СССР, 1948.]
5. Это свойство конических сечений, основывающееся на соответствии между фокусом и директрисою, показано также Декартом, который доказал его в своей Диоптрике.
6. Линии без аберрации.
7. Mémoires de l'Académie de Berlin. 1773.
8. Opuscules mathématiques. 1773, t. VI, p. 165.
   Прежде чем мы узнали, что Даламбер, идя по следам Маклорена, дошел помощью чисто геометрических соображений до выражения в виде однократного интеграла притяжения трехосного эллипсоида на точку поверхности или внутри её, мы сами старались найти такое же распространение теоремы Маклорена; разлагая тело на элементарные конусы, как это делал Лагранж, мы получили с помощью одной геометрии, ту самую формулу в квадратурах, которая выводится обыкновенно аналитически. Прием наш заключается в том, что мы геометрическими соображениями заменяем первое интегрирование, выполняемое в анализе; основанием этому служит замечание, что сказанное интегрирование соответствует в геометрии вычислению площади эллипса, именно того, который получается от проложения, на одну из трех главных плоскостей эллписоида, кривой пересечения этой поверхности с конусом вращения около оси перпендикулярной главной плоскости, имеющим вершину в центре эллипсоида.
9. Opuscules mathématiques, t. VI, p. 242.
10. Mémoires de l'Académie de Berlin, 1774 et 1775.
11. Opuscules mathématiques, 1780, t. VII, p. 102.
12. Mémoires des savans étrangers, t. X.
13. Mémoires de l'Académie des Sciences, 1788.
14. Так например хотя в конечном виде невозможно определить по величине или по направлению притяжения эллипсоида на разные точки, но нельзя ли найти каких нибудь отношений между притяжениями, или их направлениями.
    Но из множества вопросов, которые можно себе вообразить, есть один, который, можно сказать, представляется сам собою, и которым, кажется, не занимался ни один из геометров, писавших об этом предмете. Известно, что в формулах, выражающих притяжение на внешнюю точку, входит коэффициент, неизвестный a priori, но зависящий от совершенно определенного уравнения третьей степени; геометрическое значение этого коэффициента известно: он представляет одну из главных осей эллипсоида, проходящего через притягиваемую точку и имеющего с притягивающим эллипсоидом одни и те же фокусы главных сечений. Но приведение этого вопроса к уравнению третьей степени есть аналитический факт, которого нельзя a priori предвидеть из сущности вопроса; факт, который до сих пор еще не разъяснен. Он доказывает, что задача о притяжении эллипсоида проистекает из другой более общей задачи, допускающей вообще три решения. В двух из этих решений два гиперболоида, один с одною, другой с двумя полостями, проходящие через притягиваемую точку и имеющие с данным эллипсоидом общие фокусы главных сечений, должны играть ту же роль, какую эллипсоид, проходящий через эту же точку, играет в первом решении, относящимся к задаче о притяжении.
    Подобные обстоятельства встречаются в анализе нередко и всегда интересно знать их происхождение и значение. Только при этом можно считать вопрос окончательно разрешенным.
15. Маклорен пользовался единственно этою теоремою, чтобы доказать важное предложение, принятое Ньютоном без доказательства, именно: однородная жидкая вращающаяся масса должна принимат вид эллипсоида вращения при действии притяжения обратно пропорционально квадратам расстояний. Клеро считал это доказательство настолько хорошим, что в Théorie de la figure de la terre он оставил аналитический способ и последовал пути Маклорена.
16. Заблуждение трех названных мною великих геометров никем еще, кажется, не было замечено, хотя с тех пор очень много занимались вопросом о притяжении эллипсоидов. Я замечаю это потому, что это представляет ясное доказательство того, что геометрия во второй половине последнего века была совершенно оставлена и что весьма несправедливо было бы теперь обвинять ее в бессилии, так как на этом пути не только не делалось никаких новых усилий, но даже достаточно не изучались превосходные способы, которые повели Ньютона и Маклорена к их великим открытиям. Напротив того, переведя эти способы на анализ, приписывали анализу же великие открытия Ньютона, предполагая, что он уже после облек их в геометрическую форму. Это предположение произвольно; оно доказывает незнакомство с богатством средств геометрии и с необычайною легкостью её умозаключений, которые иногда бывают до очевидности просты в вопросах, доступных по преимуществу геометрическим приемам. Мы не будем входить в рассуждения о характере и средствах этого геометрического способа; для этого нужен бы был более искусный защитник; достаточно будет напомнить, что приписывая открытия Ньютона аналитическому способу, мы должны допустить, что геометр этот употреблял исчисление вариаций, открытием которого мы обязаны Лагранжу. Возможно ли допустит, чтобы великий Ньютон с его глубоким умом и с его верным и широким взглядом мог не заметит особенности и чрезвычайной важности такого открытия, чтобы он умолчал об нем и не воспользовался им впоследствии во время тяжелой и ожесточенной борьбы его с Лейбницем? Если так, то ему не зачем бы было писать и исчисление флюксий. Притом, приписывая анализу открытия Ньютона, следует, чтобы быть последовательным и делать заключения о бессилии геометрического способа, тоже самое сказать о трудах Маклорена, Стюарта и даже о знаменитой формуле Ламберта, которую сам Лагранж признал лучшим и наиболее важным открытием во всей теории комет, хотя она получена была из соображений чисто геометрических.
    Оставим же геометрии её дело. Анализ имеет уже достаточно блестящие приобретения и достаточно богатую будущность, чтобы искренне сочувствовать прежним успехам своей старшей сестры.
17. Sectionum conicarum elementa nova methoda demonstrata; Oxoniae, 1702. Сочинение это написанное, как признается в предисловии сам автор, в подражание большему трактату Де-Лагира, имело большой успех и много изданий. В нем конические сечения рассматривались как сечения круглого конуса совершенно произвольною плоскостью, без пособия осевого треугольника. Впрочем метод кажется нам менее удачен, чем у Де-Лагира, потому что он заключался в предварительном доказательстве некоторых частных свойств гиперболы, которые служили основанием для перехода к свойствам эллипса.
    Все доказательства в этом сочинении чисто синтетические и чрезвычайно просты; для нашего времени чтение становится утомительным вследствие беспрестанного употребления пропорций в древней форме: было бы более удобно и более разумно заменить эту форму равенством отношений.
18. Apollonii Pergaei locorum planorum, libri II restituti; in—4° Glosguae, 1749.
19. Four Propositions etc. т. е. четыре предложения, служащие для доказательства, что определение Стюартом расстояния земли от солнца ошибочно.
20. Animadversions on Dr. Stewarts commutation of the sun's distance from the earth; in—8° London.
21. Select exercises for young proficients in the mathematicks; in—8°, 1752.
    Две первые части этого сочинения представляют обширный сборник задач по алгебре и геометрии, решенных весьма изящным образом. Они были переведены на французский язык под заглавием: Elémens d'analyse pratique, ou application des principes de l'Algèbre et de la Géométrie, à la solution d'un très-grand nombre de problèmes numériques et géométriques; in—8°, 1771.
22. Mémoires de l'Académie de Pétersbourg, 1780.
23. Geometrical analysis. Edinburgh, 1809; in—8°. Второе издание в 1821 году.
24. Когда точка $D$ взята на той же прямой, на которой лежат три остальные точки, то теоремою Стюарта выражается общее соотношение между четырьмя произвольными точками прямой линии. Мы нашли что это соотношение, также как и другия, относящиеся к четырем точкам прямой, проистекают из следующего общего соотношения между пятью точками прямой линии:

    $EA^{2}.BC.CD.DB+EB^{2}.CD.DA.AC-EC^{2}.DA.AB.BD-ED^{2}.AB.BC.CA=0$.

    Составление членов этого уравнения — очевидно. Чтобы определить знаки, разделим все члены на $AB.BG.CA$ уравнение обратится в

    $EA^{2}.{\frac {DB.DC}{AB.AC}}+EB^{2}.{\frac {DA.DC}{BA.BC}}-EC^{2}.{\frac {DA.DB}{CA.CB}}=ED^{2}$;

    в этом уравнении надобно брать с $+$ произведения отрезков, которые считаются в одном направлении от общей их точки, и с $-$ произведения отрезков, считаемых в противоположные стороны.
    Вот некоторые соотношения между четырьмя точками, выводимые из этого общего соотношения.

    1) Если предположим, что $E$ находится в бесконечности, то, разделив на $ED^{2}$, получим

    $BC.CB.DB+CB.DA.AC-DA.AB.BD-AB.BC.CA=0$.

    Каждый член этого уравнения есть произведение отрезков, образуемых тремя из четырех точек.

    2) Если точки $E$ и $B$ сливаются, то выходит

    $DA.BC+DB.AC-DC.AB=0$;

    это — простейшее соотношение между четырьмя точками $A,B,C,D$ прямой линии.

    3) Наконец, если $B$ будет в бесконечности, то общее уравнение обращается в уравнение Стюарта, именно:

    $EA^{2}.BC+EB^{2}.AC-EC^{2}.AB=AB.AC.BC$.

25. Скажут без сомнения, что в математике, как и во всякой другой отрасли наук, вкусы свободны и что ученые сами должны отвечать за пренебрежение, в котором они оставляют геометрию. В ответ на это скажем прежде всего, что мы согласны признать необходимость преимущественного и даже исключительного преподавания анализа, по причине его всеобъемлемости, но только в таких учреждениях, где науки математические изучаются сами для себя; в виду же приложений математики к научным вопросам и к интересам общественной жизни, на публичных курсах, назначающихся исключительно для изложения новых открытий и для знакомства с разнообразными отделами математики должна по нашему мнению, найти себе место и геометрия с прекрасными методами, которые она доставила великим геометрам двух последних столетий, и с её усовершенствованиями в последнее время. Однако на этих курсах излагаются только статьи по анализу и только такие открытия, которые можно изложить помощью анализа: можно ли же сказать, что вкусы свободны? Такое равнодушие к столь важной отрасли математических знаний, или, лучше сказать, устранение её, неразумно и очень много вредит успехам этих знаний: все науки, так тесно связаны друг с другом, что отсталость одной останавливает развитие других.
26. Principia, lib. I, sect. 3, prop. XIV.
27. Петербургские Nova Acta, t. I, 1783.
28. Этот способ развит подробно и прпложен ко многим примерам в третьей части собрания мемуаров Ламберта: Beiträge zur Mathematick, etc. Berlin, 1765—1772, 4 vol. in—8°.